Чтобы найти разность между однозначными числами, второе слагаемое вычитается из первого. В этом вам поможет таблица вычитания, которую вы запомнили.
Сложение и вычитание натуральных чисел
Чтобы получить число, следующее за натуральным числом, прибавьте к нему единицу.
Чтобы сложить $9$ и $3$, прибавьте к $9$ $3, умноженное на единицу.
$9 + 3 = 9 + 1 + 1 + 1 = 10 + 1 +1 = 11 + 1 = 12.$
Числа, которые складываются вместе, называются суммами, а результат сложения — суммой.
В данном примере это $9 + $3 = $12:
$9$ и $3$ — слагаемые, $6$ — сумма.
Свойства сложения
- Переместительное свойство (коммутативность) : При перестановке слагаемых сумма не меняется 400 + 5 = 5 + 1 = 6.$ В общем виде переместительное свойство записывается так: $a + b = b + a$.
- Сочетательное свойство (ассоциативность) : Сумма трех и более слагаемых не изменится, если изменить порядок их сложения 3500 + ( 8 + 3 ) = ( 2 + 8 ) + 3 = 13.$ В общем виде сочетательное свойство записывается так: $a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.$
- Свойство прибавления нуля : Если к числу прибавить нуль, то сумма будет равна самому числу $7 + 0 = 7.$ К этому свойству можно применить переместительное свойство, получим: Если к нулю прибавить число, то сумма будет равна прибавляемому числу
Вычитание натуральных чисел
Вычитание является обратной стороной сложения.
На тарелке лежало яблок на 7 долларов, из которых было съедено 3 доллара. Сколько яблок осталось на тарелке?
Если к оставшемуся количеству яблок $(x)$ добавить яблоки стоимостью $3$, то получится $7$:
Итак, одно слагаемое известно и сумма известна, нам нужно найти второе слагаемое.
Для этого используется вычитание:
$x = 7 — 3 = 4$, потому что $3 + 4 = 7.
Вычитаемое число называется уменьшаемым, а вычитаемое — вычитаемым. Результат вычитания называется разностью.
Из этой задачи мы получаем:
$7$ — уменьшаемое число, $3$ — вычитаемое число, $8$ — разность.
Если $b + c = a$, то.
При вычитании натуральных чисел вычитаемое значение должно быть больше вычитаемого:
Разность между двумя числами находится для того, чтобы определить, больше ли вычитаемое, чем вычитаемое, или меньше, чем вычитаемое:
11 долларов больше 3 долларов на 8 долларов.
Полезно для написания реферата по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» 👇
Курсовые, дипломные и другие работы, написанные студентами.
80% студентов, обратившихся за помощью, улучшили свои оценки.
Трудности с написанием? Мы поможем! Подберем список литературы, разберем ошибки. + 7 = 7.$ В общем виде: $a + 0 = 0 + a = a.$ Если точкой $C$ разделить отрезок $AB$, то сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ будет равна длине отрезка $AB$.
Рисунок 2. Запишите: $AB = AC + CB$. Сложение чисел можно легко выполнить «в столбик»:
Загрузи учебную работу и получи отформатированную версию всего через 30 секунд 👍
Свойства вычитания
- Свойство вычитания суммы из числа : $a — ( b + c ) = a — b — c.$ Например, нужно найти значение выражения: $123 — ( 23 + 45 ) = 123 — 68 = 55.$ Однако намного удобнее считать так: $123 — ( 23 + 45 ) = 123 — 23 — 45 = 100 — 45 = 55.$ В этом выражении нужно вычесть сумму из числа, а можно сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое. Например, найдем результат выражения: $217 — 33 — 27 = 184 — 27 = 157.$ Но гораздо легче найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого: $217 — 33 — 23 = 217 — ( 33 + 27 ) = 217 — 60 = 157.$
- Свойство вычитания числа из суммы : если $c если $c Рассмотрим три примера с одинаковыми результатами. $( 6 + 5 ) — 4=11 — 4=7;$ $6 + ( 5 — 4 )=6 + 1=7;$ $( 6 — 4 ) + 5=2 + 5=7.$ Откуда получаем: $( 6 + 5 ) — 4=6 + ( 5 — 4 )=( 6 — 4 ) + 5.$ Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое. Вычитаемое обязательно должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равным ему.
$( 234 + 123 ) — 134=357 — 134=223.$ Но гораздо удобнее считать так: $( 234 + 123 ) — 134=234 — 134+ 123=100+ 123=223.$
Вычитание нуля из числа оставляет его неизменным: $a — 0 = a.$ Вычитание того же числа из числа дает ноль: $a — a = 0.$ Поскольку $9 + 0 = 9$, вычитание дает: $9 — 9 = 0$ или $9 — 0 = 9.$ Удобно находить результат вычитания в столбик:
Рисунок 5. Если точка $C$ делит отрезок $AB$, то разность длин отрезков $AB$ и CB$ равна длине отрезка $AC$.
Рисунок 6. Напишите $AB — CB = AC$ или $AB — AC = CB.$ Если $AB = 7$ см и $CB = 4$ см, то $AC = 7 — 4 = 3$ см.
Решите уравнение $63 — x = 55.$ Решение: $x = 63 — 55$, значит $x = 8.$ Число $8$ называется корнем уравнения $63 — x = 55$, так как получается верное равенство $63 — 8 = 55.$ Чтобы найти неизвестное вычитание, нужно из декремента вычесть разность.
П. 7 Вычитание натуральных чисел и их свойства
Мы можем не только группировать различные элементы, т.е. объединять их, но и вычитать определенное количество элементов из существующей группы.
Например, в кошельке было 1850 рублей. В магазине было потрачено 780 рублей. Чтобы узнать, сколько у вас осталось денег, вы можете достать кошелек и пересчитать их. Однако вы можете сделать это и другим способом: Вычтите сумму, которую вы потратили в магазине, из суммы, которая была у вас в кошельке. Разница между этими числами, т.е. на сколько единиц первоначальная сумма денег больше потраченной, является остатком денег.
Компоненты вычитания:
Вычитание также называют вычитанием одного числа из другого или уменьшением одного числа на другое.
При вычитании натуральных чисел следует учитывать, что натуральное число можно вычесть только из натурального числа, которое равно или меньше его. На самом деле, не существует способа вычесть больше единиц, чем есть.
Поэтому уменьшаемое натуральное число всегда больше или равно вычитаемому. Другими словами: Мы всегда вычитаем из большего меньшее или из равного равное.
Связь вычитания и сложения
Вычитание действий напрямую связано со сложением действий.
А именно, когда мы ищем сумму, мы складываем все единицы, из которых состоят числа. Таким образом, у нас есть число, состоящее из разных чисел.
Когда мы ищем разность, мы прибавляем число (уменьшаемое) и вычитаем из него количество единиц (вычитаемое), и получаем другое количество единиц. Другими словами: Мы получаем число (разность), которое также содержит вычитаемое, пока мы не вычтем из него единицу. Поэтому разность называется остатком, то есть тем, что остается от числа после вычитания его частей.
Из этого можно сделать вывод, что при сложении обеих частей числа (разность и вычитание) получается уменьшаемое.
Декрементом является сумма вычитаемого и разности. То есть, разность и вычитание являются суммами.
Когда мы складываем числа, мы знаем слагаемые, и нам нужно вычислить сумму слагаемых. А при вычитании мы получаем сумму (вычитаемое) и одно из слагаемых (вычитаемое) этой суммы, и нам нужно вычислить другую сумму (разность).
Рассмотрим это в качестве примера. Мы нашли разность 8-5=3. Это означает, что мы разделили данное число 8 на две части: 5 (данный вычитатель) и 3 (найденная разность). Но мы знаем, что компоненты числа — это суммы, которые складываются в одно и то же число. Поэтому мы можем преобразовать разность данных нам чисел в сумму чисел, сложив остаток с вычитаемым: 3+5=8 .
Свойства разности натуральных
Свойства разности натуральных чисел состоят в следующем:
- Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы;
- Зависимость разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
- Правило вычитания разности из числа;
Давайте рассмотрим каждый из них подробнее.
Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы
Как вычесть сумму числа
На самом деле, поскольку сумма является объединением всех сумм, очевидно, что, последовательно вычитая каждую сумму, каждое из составляющих ее чисел, мы в конце концов вычтем всю сумму.
Рассмотрим это на примере урока по сложению чисел.
325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406
Я запишу это как различие:
406 -( 12 + 64 + 5 ) = 325
и показать, что результат равен первой сумме
406 — 12 = 394; 394- 64 = 330; 330- 5 = 325 .
Как видите, все правильно.
Как вычесть число из суммы
Вы знаете, что если уменьшить одно из слагаемых на число, то сумма уменьшится на то же число. Поэтому если сумма чисел уменьшается на одно число, то достаточно уменьшить одно из слагаемых этой суммы на то же число.
Чтобы рассмотреть это, я возьму тот же пример, но разобью сумму на слагаемые и заменю сумму в скобках на слагаемые:
325 +81 = ( 191 + 65 + 150 )
Я преобразовываю выражение в разность:
( 191 + 65 + 150 )-81 = 325
и покажите, что результат также равен первой сумме
19 1-81 = 110, 110 + 65 = 175, 175 + 150 = 325 ή 15 0-81 = 69, 69 + 191 = 260, 260 + 65 = 325 .
Я не случайно написал в правиле, что нужно вычесть из соответствующей суммы, потому что если она меньше вычитаемой, то не подходит. Таким образом, в нашем примере 65 .
Таким образом, мы видим, что это правило применимо не к любой сумме натуральных чисел, а только к той, в которой хотя бы один из них больше вычитаемого.
Как меняется разность при изменении вычитаемого или уменьшаемого
Изменение разности при изменении вычитаемого и вычитающего является следствием изменения суммы чисел, описанных в уроке, при изменении слагаемых.
Правила вычитания разности
Это свойство вытекает из свойств, рассмотренных ранее.
Рассмотрим пример 22 -( 17 — 3 ) .
Сначала мы рассчитаем обычным способом: Сначала мы ищем разницу в скобках (17-3=14), а затем вычитаем 14 из 22. 22-14 = 8.
22 -( 17 — 3 ) = 8
Теперь вернемся к исходному примеру и вычтем из 22 не разность 17 — 3, то есть не 17 без 3 единиц, а целое число 17.
22 — 17 = 5
Но мы вычли больше, чем нужно, поэтому нам нужно вернуть лишние 3 единицы, т.е. прибавить их к результату.
Вычитание целых отрицательных чисел в примерах
Пример: найдите разность между 6 и-8.
Используя правило разности, замени м-8 на противоположное число +8 или 8 и вычислим сумму целых чисел. Мы получаем:
Вычтите числ о-10 из целого числ а-14. Вычтит е-10 из противоположного числа +10 или 10, используя правило вычитания целых чисел, а затем сложите.
Примеры нахождения
Пример 1: Найдите разницу между двумя значениями. Дано: 20 — вычитаемое и 15 — вычитаемое. Решение: 20 — 15 = 5 Ответ: 5 — это разница между двумя значениями.
Пример 2. Найдите уменьшительное. Дано: 48 — разность, 32 — вычитаемое значение. Решение: 32 + 48 = 80 Ответ: 80.
Пример 3. Найдите вычитаемое значение. Дано: 7 — разность, 17 — убывающая величина. Решение: 17 — 7 = 10 Ответ: 10.
