Множество — виды, операции и примеры решения. Множество это в математике.

Если две популяции образуют третью, которая содержит элементы одной из двух групп и не содержит элементов второй, то имеет место различие (сложение) популяций, которое обозначается символом /.

Множество

При изучении некоторых тем в математике, физике, технике, экономике и т.д. мы сталкиваемся с величинами, которые имеют фиксированное числовое значение и называются постоянными, а другие могут принимать различные числовые значения и называются переменными.

Например, постоянным значением может быть число

К переменным относятся, например, температура окружающей среды, которая меняется в течение дня, общая выручка магазина от продажи продуктов в течение дня и т.д.

Наборы действительных чисел:

При изучении высшей математики наибольший интерес представляют множества чисел, то есть множества, элементами (значениями) которых являются числа. Среди арифметических множеств мы рассмотрим следующие: 1) Множество всех натуральных чисел N = ? 2) Множество всех целых чисел 3) Множество всех рациональных чисел, p — целое число, g — натуральное число. 4) Множество всех действительных чисел R .

Множество всех действительных чисел состоит из всех рациональных и иррациональных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, и т.д. Обратите внимание, что прямая линия, на которой заданы начало координат, масштаб и направление, называется числовой линией.

Между множеством точек на числовой прямой и множеством всех действительных чисел существует взаимно-однозначное соответствие. Это означает, что каждая точка на оси чисел представляет собой действительное число и, наоборот, каждое число является координатой определенной точки на оси чисел.

Определение 1.Интервал — это множество всех чисел (точек), которые лежат между двумя числами (точками), называемыми краями интервала.

Интервал с краями x = a и x = b, где a

Если рассмотреть множество точек интервала и его края, то получится замкнутый интервал или отрезок. Замкнутый интервал с краями x = a и x = b задается неравенствами a ≤ x ≤ b и называется a, b. Интервал (a, b) называется открытым интервалом, а интервалы a, b), (a, b) — полуоткрытыми интервалами.

Множество действительных чисел, удовлетворяющее неравенство x>a, обозначается x ≥ a, обозначается

Мы также будем называть числовые интервалы x

Множество всех действительных чисел R мы будем называть арифметическим интервалом.

Обратите внимание, что большинство понятий в математике вводятся с помощью определений. Например, квадрат можно определить как прямоугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину. Здесь более узкое понятие — квадрат — обозначается другим, более широким понятием — прямоугольником. Конечно, невозможно точно определить все термины, которые существуют в математике. Некоторые из наиболее распространенных (начальных) понятий нужно учить не по определениям, а другим способом. Одним из таких понятий является понятие множества. Эта концепция изучается на примерах. Таким образом, можно говорить о множестве всех городов в определенной стране, множестве всех студентов на определенном факультете, множестве чисел, упомянутых ранее в этом параграфе. Наборы обозначаются заглавными буквами A, B, C и т.д. Каждое множество состоит из элементов, обозначаемых строчными буквами a, b, c, x, y и так далее. Например, число 21 является элементом множества всех натуральных чисел. Тот факт, что элемент x принадлежит множеству X, записывается как x ∈ X. Если элементы x не принадлежат множеству X, то записывается x∉ X.

Понятие множеств

Набор рассматривается как количество определенных объектов. Объекты, составляющие множество, называются элементами или точками множества.

Множество обозначается латинскими буквами верхнего регистра, а элементы множества — латинскими буквами нижнего регистра.
Утверждение, что элемент записан как не принадлежащий множеству Если множество, то пишем
пустое множество.
Множество называется одинаковым, если оно состоит из одинаковых элементов. В этом случае запишите как набор натуральных чисел: — набор логических чисел,
Предположим, что у нас есть конечное число множеств, все элементы которых принадлежат хотя бы одному из множеств

Например, множество действительных чисел является объединением множества рациональных и иррациональных чисел.

Пересечение множеств, состоящее из тех элементов, которые принадлежат каждому множеству, и только этих элементов.
Пусть множество вещественных чисел — это множество вещественных чисел больше 4. При пересечении этих множеств выполняется неравенство.
Если — — множество вещественных чисел, меньших 4, то очевидно и

Разница между этими двумя наборами заключается в том, что набор

Соседнее множество — это множество, которое не принадлежит

Множество действительных чисел

Множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел образуют множество действительных чисел. Множество вещественных чисел является упорядоченным множеством. Это означает, что для некоторых неравенств между вещественными числами справедливо только одно из двух неравенств:

Вещественные числа могут быть представлены на числовой оси так же, как и логические числа. Приведем числовую ось с точкой отсчета

Множество

Для этого в разделе Начертим окружность радиусом пересечения дуги с осью Каждому вещественному числу соответствует точка на оси чисел и наоборот. Множество называется сегментом (или отрезком) — интервалом или полуинтервалом Мы рассматриваем неограниченные интервалы и полуинтервалы Все упомянутые множества объединяются термином пространство

Понятие абсолютной величины

Абсолютное значение (единица) действительного числа или цифры Абсолютное значение действительного числа обозначается символом
Единица действительного числа является положительным числом или равна нулю. Из этого следует, что любое действительное число не больше своего модуля, т.е.

Абсолютные суммы действительных чисел обладают свойствами:

(1) Абсолютная сумма двух действительных чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел:

(2) Абсолютное значение разности двух действительных чисел не меньше, чем разность абсолютных значений этих чисел:

(3) Абсолютная величина произведения действительных чисел равна произведению абсолютных величин этих чисел:

4. абсолютная величина дроби двух действительных чисел равна дроби абсолютных величин этих чисел:

Решите примеры:

Пример 3.1.

Даны наборы:

Найдите объединение, пересечение и разность множеств.

Решение. Объединение двух заданных множеств является их пересечением.

Пример 3.2.

Найти.
Реше

Комплексные числа

Комплексное число — это число вида

Действительное число — это действительная часть комплексного числа — его мнимая часть. Номер

Множество

Два комплексных числа такой формы называются сопряженными числами.

Комплексные числа представлены на плоскости чисел. Для этого выбирается прямоугольная система координат на плоскости (рис. 3.2). Комплексное число представлено точкой, равной действительная часть комплексного числа равна мнимой части комплексного числа.

Пример 3.6

Мы хотим представить комплексные числа на плоскости:

Множество

Действия с комплексными числами

Сумма двух комплексных чисел является комплексным числом

Пример 3.7

Множество

Разность двух комплексных чисел — это комплексное число

Пример 3. 8

Множество

Произведением двух комплексных чисел является комплексное число

Множество

На практике эта формула используется не всегда. Комплексные числа можно перемножать как двоичные числа.

Пример 3.9

Множество

Коэффициент двух комплексных чисел является комплексным числом

Множество

Пример 3.10

Множество

Модуль и аргумент комплексного числа

Модулем комплексного числа является

Множество

Пример 3.11

Множество

Угол и отрезок обозначают комплексное число через аргумент комплексного числа (рисунок 3.4).

Каждое ненулевое комплексное число имеет бесконечное число предельных значений, которые отличаются друг от друга тем, что

Аргумент обозначается формулами:

Множество

Чтобы использовать эти формулы, необходимо соблюдать знаки противоположной и обратной сторон комплексного числа.

Пример 3.12

Найдите аргумент комплексного числа.

Множество

Решение. В соответствии с этой формулой получаем

Но угол (рисунок 3.5).

Правильный ответ: Этот результат получается, когда дистальный конец и линия комплексного числа отрицательны, т.е. точка квадрата числа.

Значение термина, принадлежащего сегменту, является основной суммой.

Тригонометрическая формула комплексного числа

Рассмотрим треугольник
Поэтому,

получаем:

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество — это ряд объектов или чисел, которые имеют общие свойства.

Множество в математике

Это определение применимо к любому множеству с одинаковыми свойствами, независимо от того, сколько объектов оно содержит: толпа, охапка соломы, звезды на небе.

В математике для обозначения этого понятия мы используем латинские заглавные буквы, например, A, C, Z, N, Q, A1, A2и т.д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2и т.д.

Границы множества обозначены скобками<>.

  1. А = – А состоит из четырех элементов.
  2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z =, повторяющиеся согласные пишутся один раз. Z состоит из четырех элементов.

Элементы, принадлежащие множеству, обозначаются символо м-Є.

Пример.

Виды множеств

Существует три типа наборов:

  • конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
  • бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
  • пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если два разных множества содержат одинаковые элементы, то одно из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другого и обозначается символом — ⊆.

Пример.

Если множества состоят из одинаковых элементов, они называются одинаковыми.

Пример: A = и B =, тогда A = B.

В математике существует несколько наборов чисел. Давайте рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

Натуральные числа (N) — это числа, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Множество натуральных чисел

Натуральные числа используются для вычисления порядка следования объектов. Обязательным условием этой группы чисел является то, что каждое последующее число на единицу больше предыдущего.

Является ли ноль натуральным числом? Этот вопрос до сих пор остается открытым для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Множество целых чисел (Z) включает положительные и отрицательные целые числа, а также ноль:

Поэтому N является подмножеством Z, которое можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно также назвать целым числом.

Множества целых и рациональных чисел

Множество натуральных чисел

Набор натуральных чисел (N) включает в себя цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Множество обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры решения множеств натуральных, целых и рациональных чисел, счетных и несчетных множеств

Натуральные числа используются для вычисления порядка следования объектов. Необходимым условием этой последовательности чисел является то, что каждое последующее число на единицу больше предыдущего.

Является ли ноль натуральным числом? Этот вопрос до сих пор остается открытым для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Множество целых чисел (Z) включает положительные и отрицательные целые числа, а также ноль:

Поэтому N является подмножеством Z, которое можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно также назвать целым числом.

Множество обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры решения множеств натуральных, целых и рациональных чисел, счетных и несчетных множеств

Множество рациональных чисел

Набор рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обычных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, числителем которой является целое число, а знаменателем — натуральное число:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Множество

Математический анализ — это отрасль математики, которая занимается изучением функций на основе идеи бесконечной функции.

Основными терминами бесконечно малого исчисления являются количество, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Количество — это все, что можно измерить и выразить числом.

Множество — это количество определенных элементов, которые связаны общей характеристикой. Элементами множества могут быть числа, цифры, предметы, понятия и т.д.

Множества обозначаются буквами верхнего регистра, а элементы множества — буквами нижнего регистра. Элементы множеств заключены в скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то пишут x ∈ X ( ∈ — принадлежит). Если множество A является частью множества B, то пишут A ⊂ B ( ⊂ — содержать).

Множество может быть определено двумя способами: перечислением и определяющим свойством.

  • А= — множество чисел
  • Х=1,x2. xn>- Множество определенных элементов x1,x2. xn
  • N= — множество натуральных чисел
  • Z= — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется арифметической прямой, а каждое число — точкой на этой прямой. Пусть a — любая точка на числовой прямой, а δ — положительное число. Интервал (a-d; a+d) называется δ-соседством a.

Множество X является верхне (нижне) ограниченным, если существует число c такое, что для каждого x ∈ X выполняется неравенство x≤c (x≥c). Число c называется верхней (нижней) границей X. Множество, которое ограничено как сверху, так и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ множества называется точной верхней (нижней) границей множества.

Основные числовые множества

Множество рациональных чисел — это .

Помимо целых чисел, существуют также дроби. Дробь — это выражение вида, где p — целое число, а q — натуральное число. Десятичные дроби также можно записать в виде. например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде …. например, как дробь со знаменателем «один»: 2 = 2/1.

Таким образом, любое логическое число можно записать в виде десятичного числа, либо в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

Множество всех действительных чисел — это .

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:

  • число — отношение длины окружности к её диаметру;
  • число — названное в честь Эйлера и др.;

Вместе эти два множества (рациональные и иррациональные числа) образуют множество действительных (или реальных) чисел.

Если множество не содержит элементов, оно называется пустым и записывается Ø.

Элементы логической символики

«следует», «удовлетворяет».
Эквивалентность утверждения
: «чтобы»

При написании математических выражений часто используются временные числительные.

Операции над множествами

Два множества A и B равны (A=B), если они состоят из одинаковых элементов. Например: Если A=, B=, то A=B.

Объединение (сумма) множеств A и B — это множество A ∪ B, элементы которого принадлежат хотя бы одному из двух множеств. Например, если A=, B=, то A ∪ B =.

Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество A ∩ B, элементы которого принадлежат обоим множествам A и B. Например, если A=, B=, то A ∩ B =.

Разность между множествами A и B — это множество AB, элементы которого принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Например: Если A =, B =, то AB =.

Симметричной разностью множеств A и B является множество A Δ B, которое является объединением разностей множеств AB и BA, то есть A Δ B = (AB) ∪ (BA). Например, если A = B = B, то A Δ B = ∪ =

Свойства операций над множествами

A ∪ B = B ∪ A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Для того чтобы сравнить два множества A и B, необходимо установить соответствие между их элементами.

Если это соответствие один-к-одному, то множества называются эквивалентными или равнозначными, то есть A B или B A.

Множество точек пробора BC и гипотенузы AC треугольника ABC эквивалентно.

Оцените статью
Uhistory.ru