Если на сторонах AB и BG треугольника ABC точки C1и А1и точка B1лежит на продолжении стороны AB за точку C, тогда точки C1, А1и Б1находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство: \(\frac>B>\times \frac>C>\times \frac>A>=1\)
Теорема Менелая
Теорема Менелая показывает соотношение сторон треугольника, которое получается, когда линия пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей.
Используя эту теорему, можно найти соотношение сторон треугольника и доказать прилипание точек в данном треугольнике (на двух сторонах и продолжении третьей стороны).
Концентрические точки — это три или более точек на одной прямой.
Теорема Менелая гласит:
BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1
Шаг 1 Дан треугольник ABC. Линия пересекает две стороны треугольника таким образом, что не проходит через вершину треугольника (на нашем рисунке это розовая линия). Таким образом, есть два пересечения прямой с двумя сторонами треугольника (точки E и D). Третья сторона (AB) должна достичь точки пересечения (точка F).
Шаг 2. Возьмите вершину треугольника и перейдите в другую точку треугольника, пройдя точку пересечения (затем разделите одно на другое): BD/DC.
Обратите внимание, что в этой нотации пересечение находится в середине («DD»), а B и C (стороны треугольника, по которым мы идем) — по бокам. То есть, мы идем от B к C через D. Мы можем написать точки на стороне, по которой мы идем («BC»), с небольшим пробелом между ними, а затем вставить пересечение между ними дважды со знаком дроби («D/D»).
При входе во фракцию точка, через которую мы проходим, повторяется по диагонали.
Отметьте на рисунке карандашными стрелками, какую сторону мы уже прошли, а какую нам еще предстоит пройти, чтобы не запутаться.
Шаг 3. Продолжите движение вдоль треугольника и сделайте сторону CA — это похоже на движение от C к E к A, что получается CE/EA.
Перемножьте эти две стороны и запишите их вместе в тетрадь:
Шаг 4. Теперь проведем сторону AB через точку F — от A пройдем сначала к F, а затем обратно к B, получится вот так: АФ/ФБ.
Шаг 5. Перемножьте все вместе:
BD/DC * CE/EA * AF/FB
Теорема Менелая гласит:
BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1
Доказательство теоремы Менелая
Существует много способов доказать эту теорему, этот способ называется «доказательство с помощью подобных треугольников»:
Проведите прямую, параллельную QN через точку A и пересекающую сторону BC в точке M.
Теорема Менелая пример (задача с решением)
Существует треугольник ABC. На стороне BC существует точка L такая, что LC = 3BL. Точка A соединяется с продолжением стороны AC, на которой лежит точка M, так что MA = AC. Прямая ML пересекает AB в точке F.
Найдите отношение BF/FA:
1. мы знаем, что MA = AC, LC = 3BL.
2. прямая ML пересекает две стороны треугольника ABC и является продолжением третьей стороны, т.е. по теореме Менелая:
1 Формулировка теоремы Менелая
Линия пересекает треугольник $ABC$, при этом $C’$ пересекается со стороной $AB$, $B’$ пересекается со стороной $AC$, а $A’$ пересекается с продолжением стороны $BC$ (рисунок 1). Тогда отношения таковы:
$ \bigg (\frac \bigg ) \cdot \bigg ( \frac \bigg ) \cdot \bigg ( \frac \bigg ) = 1$
Доказательство теоремы Менелая очень простое. Например, один из обычных способов доказательства требует лишь одного дополнительного построения. Проведите прямую, параллельную $AB$, через вершину $C$ и используйте две получившиеся пары подобных треугольников. Недавно я записал видео с доказательством:
Обратная теорема Менелая также верна.
2 Как запоминать теорему Менелая
Возьмите любой угол треугольника и, начиная с него, обведите стороны треугольника. Каждый раз после вершины вы должны достичь точки разделения (точка, промежуточная точка). То есть, если направление и порядок пересечения таковы, что вы попадаете из вершины $A$ в вершину $C$, то из точки $C$ вы сначала попадаете в точку $A’$, а из точки $A’$ — в точку $B$. Напишите на каждой стороне отношение, которое учитывает выбранное вами направление. Произведение трех результирующих коэффициентов равно единице.
В 1678 году итальянский инженер Джованни Чева доказал следующую теорему.
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах (или их продолжения), называются шевронами, если они пересекаются в одной точке.
Возможны два варианта расположения цевиантов: в одном варианте точка пересечения находится внутри, а концы цевиантов — на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения находится снаружи, конец одного цевиана лежит на одной стороне, а концы двух других цевианов лежат на продолжениях сторон (см. рисунки).
Прямая теорема Чевы.
Если в любом треугольнике $ABC$, $CA$, $AB$ или их продолжениях взять точки $A_$, $B_$ и $C_$ соответственно так, чтобы прямые $AA_$, $BB_$, $CC_$ пересекались в общей точке, то
$ \bigg (\frac>
Я не привожу доказательство, оно основано на двойном применении теоремы Менелауста.
Также применима обратная теорема Чевы.
4 Как запоминать теорему Чевы
Внимательно запомните теорему Менелая — выберите вершину в качестве начальной точки и направления пересечения. Дальше мы делаем все точно так же, как в формулировке теоремы Менелая.
Теоремы Менелая и Чевы не нужно запоминать, но вы должны запомнить принцип и ситуации, к которым они применимы. Заучивание самих отношений с точной символикой — занятие не только неблагодарное, но и вредное. В моей статье с видео о соотношениях разрезов вы найдете примеры задач с теоремой Менелая — некоторые из них решены, другие предназначены для упражнений.
Теорема Менелая: формулировка и пример с решением
В этом посте мы рассмотрим одну из классических теорем общей геометрии — теорему Менелая, названную в честь древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского. Мы также рассмотрим пример решения задачи для закрепления представленного материала.
Даны треугольник ABC и прямая, проходящая через треугольник следующим образом:
- B’ – точка пересечения со стороной AC ;
- C’ – точка пересечения со стороной AB ;
- A’ – точка пересечения прямой и продолжения стороны ВC;
- Важно: A’, B’ и С’ лежат на одной прямой, т.е. являются коллинеарными.
Если все вышеперечисленные условия выполнены, то соотношение длин отрезков верно:
Следствия из теоремы
1. тригонометрический эквивалент.
Примечание: Все углы выровнены.
2.
Пример задачи
3. вид теоремы в геометрии Лобачевского
Дан треугольник ABC с точками X на стороне AB и Y на стороне AC. Точка Z возникает на пересечении прямых, проходящих через эти точки, и продолжения BC. BC вдвое длиннее CZ, а отрезки AY и YC имеют одинаковую длину. Найдите отношение BX к XA.
Представим условия задачи в виде диаграммы. Для простоты обозначим отрезок CZ через a (т.е. BC = 2a ), а AY=YC через b .
Теперь определите отношение отрезков, используя теорему Менелая:
Замените заданные отрезки нашими обозначениями:
После сокращения дробей получаем:
Публикации по теме:
- Нахождение площади квадрата: формула и примеры
- Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
- Нахождение площади круга: формула и примеры
- Нахождение площади ромба: формула и примеры
- Нахождение площади трапеции: формула и примеры
- Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
- Нахождение площади эллипса: формула и пример
- Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
- Нахождение периметра треугольника: формула и задачи
- Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
- Нахождение периметра ромба: формула и задачи
- Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
- Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
- Нахождение длины окружности: формула и задачи
- Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: формула и задачи
- Теорема синусов для треугольника: формула и задачи
- Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи
- Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
- Нахождение объема конуса: формула и задачи
- Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
- Нахождение объема куба: формула и задачи
- Нахождение объема шара: формула и задачи
- Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
- Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
- Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
- Нахождение объема призмы: формула и задачи
- Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности шара (сферы): формула и задачи
- Нахождение радиуса шара: формула и примеры
- Нахождение радиуса круга: формула и примеры
- Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
- Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
- Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
- Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
- Формула Герона для треугольника
- Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
- Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
- Теорема Стюарта: формулировка и пример с решением
- Теорема о трех перпендикулярах
- Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
- Геометрическая фигура: треугольник
- Признаки равенства треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача
- Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
- Определение и свойства медианы треугольника
- Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ
Следовательно, BX = 3XA .
Задача 1
Теорема Менелая (как и обратная ей) применима к первой части теста и к задаче 16. Рассмотрим пару таких задач.
Пусть дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Существуют также диаметры BM и AN, пересечение которых мы обозначим через O.
Постройте точку K на стороне AB так, чтобы AK составляла 1/3 от AB. AC = 4 см, AM = 2 см. Начертите OK в точке пересечения с AC. Обозначим точку пересечения с P. Обозначим AP через y. Найти: Каково расстояние AP. Решение.
Рассмотрим треугольник ABM. Для этого треугольника возьмем линию OP. Таким образом, мы находим искомые точки P, A, M, O, K и B. Запишем теорему Менелая для этого рисунка.
Задача 2
Из этого следует, что y = 4. Ответ: отрезок AP = 4 см.
Проблема, связанная со свойствами теоремы Чевы. Рассмотрим рисунок:
Найдите: отношение BO и OB1.
Поэтому давайте запишем отношение: