Логарифм — свойства, формулы, график. Значениями а в y logax может быть.

В этом примере нет меньшего значения, поэтому ОДЕ для f(x) = log3(x+4)+ log3(8-x) является следующим интервалом (- ∞? 2лог36).

Калькулятор онлайн. Решение логарифмических уравнений.

Программа для решения логарифмического уравнения дает не только ответ на задачу, но и подробное решение с пояснениями, т.е. показывает процесс получения ответа.

Программа может быть полезна старшеклассникам для подготовки к экзаменам и тестам, а также для проверки знаний перед Единым государственным экзаменом. Он также может быть полезен родителям для проверки решения многих задач по математике и алгебре. Или вам слишком дорого нанимать репетитора или покупать новые книги? А может быть, вы просто хотите как можно быстрее выполнить домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробными решениями.

Таким образом, вы сможете научить себя и/или научить своих младших братьев и сестер и повысить уровень обучения решению проблем.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы. Правила ввода функций>>Почему решение на английском языке?>>С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами>>—>ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм b log(10,b) — десятичный логарифм b log(a,b) — логарифм b, отнесенный к a

Введите логарифмическое уравнение Решите уравнение

Было обнаружено, что некоторые скрипты, необходимые для решения этой проблемы, не были загружены, и программа может не работать. Возможно, у вас включен AdBlock. Если да, отключите его и обновите страницу.

Поскольку так много людей заинтересованы в решении этой проблемы, ваш запрос был добавлен в очередь. Через несколько секунд решение будет показано ниже. Пожалуйста, подождите немного.

Игра «droneZone» —>3D модели Создание острова Эмулятор гравитации Игра «iChart» —>Головоломка SumWaves.

Немного теории.

Задача 1: Найти положительный корень уравнения x 4 = 81 Согласно определению арифметического корня, имеем \( x = \sqrt4 = 3 \).

Задача 2. Решите уравнение 3 x = 81 Запишем уравнение так: 3 x = 3 4, где x = 4.

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3 x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа. Уравнение a x = b, где a>0, \( a \neq 1 \), b>0, имеет только один корень. Этот корень является логарифмом числа b по основанию a и обозначается logab, например, корень уравнения 3 x = 81 равен 4, т.е. log381 = 4.

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, \( a

eq 1 \), это экспонента, на которую нужно увеличить a, чтобы получить b.7Журнал

7 = 1, потому что 7 1 = 7

Это равенство справедливо при b>0, b>Определение логарифма можно записать следующим образом:

0, \( a

eq 1 \). Обычно его называют основным логарифмическим тождеством.64Процесс нахождения логарифма числа называется логарифмированием. Процесс определения числа по его логарифму называется динамизацией.64Рассчитать календарь64128 Обозначим через log

128 = х. Согласно определению логарифма, 64 x = 128. Так как 64 = 2 6, 128 = 2 7, то 2 6x = 2 7, поэтому 6x = 7, x = 7/6. Ответ: log<-2\log_3 5>128 = 7/6

Вычислить \( 3^3\Используя свойства силы и основное логарифмическое тождество, получаем следующий результат.

Десятичные и натуральные логарифмы

Решите уравнение log

(1-x) = 2 Согласно определению логарифма 3 2 = 1 — x при x = -810b

Для логарифмов чисел были созданы специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы также можно вычислять с помощью микрокомпьютера. В обоих случаях находят только десятичные числа или натуральные логарифмы.eb

Определение. Десятичный логарифм числа — это логарифм этого числа по основанию 10, и вместо log пишется lg b.

Определение. Натуральный логарифм числа — это логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближающееся к 2,7. В этом случае напишите ln b вместо log

Иррациональное число e играет важную роль в математике и ее приложениях. Число e можно представить в виде суммы: $ e = 1 + \frac + \frac + \frac + \frac + \dots + \frac + \dots $<\lg b><\lg a>Оказывается, что знание значений только десятичного или только натурального логарифма чисел достаточно для нахождения логарифмов чисел по любому основанию. Для этого используется формула для замены основания логарифма:<\ln b><\ln a>$

Графики логарифма

График логарифма

Эффекты формулы для замены основания логарифма. Для c = 10 и c = e выведена формула перехода к десятичной дроби и натуральному логарифму: $ \log_a b = \fracax для четырех значений основания логарифма : a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a>, \;\; \log_a b = \frac

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

График логарифма получается при построении графика экспоненциальной функции путем зеркального отображения его на линии y = x. Графики функции y = log

1 Логарифм монотонно возрастает. При увеличении x рост значительно замедляется. В 0 0 0
Логарифм является монотонной функцией, т.е. не имеет экстремумов. Основные свойства логарифма перечислены в таблице. – ∞ – ∞
Диапазон определения Диапазон значений Монотонность
Монотонно увеличивается x = 1 x = 1
Монотонно уменьшается Ноль, y = 0 Ноль, y = 0
+ ∞ – ∞
– ∞ + ∞

Частные значения

нет

Основные формулы логарифмов

нет

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается следующим образом: Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Доказательство основных формул логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Логарифм — это математическая операция, при которой берется логарифм. В логарифме произведения коэффициентов преобразуются в суммы членов. Перечисление — это обратная математическая операция логарифма. При амплификации данное основание увеличивается до мощности выражения, на котором производится амплификация. Это преобразует суммы терминов в произведения факторов.

Формулы для логарифмов выводятся из формул для экспонент функций и из определения обратной функции.

Интеграл

Рассмотрим свойство функции экспоненты. Поэтому применим свойство экспоненциальной функции: .

Докажем формулу базового множества: ? Предполагая, что c = b, имеем:

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: Ну,

Логарифм, его свойства и график

Рассмотрим функцию комплексного числа z : Выразите комплексное число z через коэффициент r и аргумент φ: Используя свойства логарифма, получаем:. Однако аргумент φ не является однозначно определенным. Если задать, где n — целое число, то для разных n это будет одно и то же число.

Функция y=log_a x

Поэтому логарифм как функция комплексной переменной не является одномерной функцией.

  • возрастание или убывание логарифма зависит от величины основания \(a\);
  • оба графика проходят через точку \((1;0)\);
  • оба графика ограничены слева осью \(OY:\ x\gt 0\).

п.4 График и свойства логарифма при \(a\gt 1\)

График и свойства логарифма при a></p><p>1″ />Если мы рассматриваем функции \(f(x)=\log_2x\) и \(g(x)=\log_x\), то составляем таблицу и рисуем графики:</p><p><img decoding=

Мы видим это:

п.1. Примеры

Пример 1a

\begin \\\\\ y=\log_ax,\ a\gt 1 \end 1. область определения \(x\gt 0\) 2. область значений \(y\in\mathbb\) 3. \(y(1)=\log_a1=0\) — пересекает ось \(OX\) в точке (1;0) 4. функция возрастающая $ \log_aq\gt \log_as\Leftrightarrow q\gt s $ 5. At \(0\lt x\lt 1,\y\lt 0\) At \(x\gt 1,\y\gt 0\) At \(x

Пример 1б

ightarrow +0,\y

Пример 1в

ightarrow -\infty\) — не ограничено снизу At \(x

Пример 1г

ightarrow +\infty,\y

Пример 2a

ightarrow +\infty\) — не ограничено сверху 6. Функция непрерывна на всем своем интервале 7. Функция не является ни четной, ни нечетной

Пример 2б

\begin \\\\\ y=\log_ax,\ 0\lt a\lt 1 \end 1. область определения \(x\gt 0\) 2. область значений \(y\in\mathbb\) 3. \(y(1)=\log_a1=0\) — пересекает ось \(OX\) в точке (1;0) 4. функция убывающая $ \log_aq\gt \log_as\Leftrightarrow q\lt s $ 5. At \(0\lt x\lt 1,\ y\gt 0\) At \(x\gt 1,\ y\lt 0\) At \(x

Пример 3a

ightarrow +0,\ y

Пример 3б

ightarrow +\infty\) — не ограничено сверху At \(x

Пример 4

Пример 4*. Постройте график функции: $ y=log_\left(\sqrt>-\sqrt\right) $ Упростим выражение в скобках: $ \sqrt>ightarrow +\infty,\ y<\left(1+\sqrt\right)^2>ightarrow -\infty\) — не ограничено снизу 6. Функция непрерывна на всем своем интервале 7. Функция не является ни четной, ни нечетной

«Обзор традиционных и современных методик для формирования навыков арифметических вычислений в уме у младших школьников»

Функция y = loga x, её свойства и график.1«ИНЖЕНЕРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ».

Пример 1: Постройте графики функций в одной системе координат. Сделайте выводы. a) \(y=3^x,\(y=\log_3x\) Экспоненциальная функция \(y=3^x\) и логарифм \(y=\log_3x\) симметричны относительно \(y=x\). Эти функции являются обратными друг другу (см. §2 учебника для 9 класса). Функции не пересекаются.

Дата рождения: 1550 год Место рождения: замок Мерчистон, в те годы предмест.

b) \(y=\left(\frac12

Прочитайте и назовите график функции, изображённый на рисунке.xy011ПланКаки.

ight)^x,\ y=\log_x\) Экспоненциальная функция \(y=\left(\frac12

1) D(f) – область определения функции.2) Чётность или нечётность функции.4) О.

ight)^x\) и логарифм \(y=\log_x\) симметричны относительно оси \(y=\x\). Эти функции являются инверсиями друг друга. Функции перекрываются.

Леонард Эйлер нем. Leonhard EulerДата рождения: 4 (15) апреля 1707 Место рож.

c) \(y=\log_2x,\y=\log_3x,\y=\log_5x\) В \(a\gt 1\) все логарифмы являются возрастающими функциями. Все графики пересекают ось \(OX\) в точке (1;0). Чем больше \(a\), тем медленнее функция падает к \(-\infty\) по мере приближения к \(x\стрелка вправо +0\), и тем медленнее функция стремится к \(+\infty\) при \(x\стрелка вправо +\infty\).

xy0cbcby = xПоказательная функцияЛогарифмическая функция(c ; b) Если точка (.

г) \(y=\log_x,\ y=\log_x,\ y=\log_x\) В \(0\lt a\lt 1\) все логарифмы являются убывающими функциями. Все графики пересекают ось \(OX\) в точке (1;0). Чем меньше \(a\), тем медленнее функция поднимается в направлении \(+\infty\) по мере приближения к \(x\стрелка вправо +0\); аналогично, функция медленнее наклоняется в направлении \(-\infty\) при \(x\стрелка вправо +\infty\).

xy0aay = x11 График функции симметричен графику функции.

Три основных вида логарифмов

Пример 2. Решите уравнение графически: a) \(\log_3x=\frac\) Ответ.

b) \(\log_x=x^2-1\) Ответ: \(x=1\)

Пример 3. Решите неравенства графически: a) \(\log_3x\leq\frac\) ОДЗ логарифма \(x\gt 0\) Кривая логарифма лежит ниже прямой линии и пересекает ее через определенные промежутки времени: \(0\lt x\leq 1\cup x\geq 3\) Мы включаем пересечения, потому что неравенство не является строгим. Ответ.2б) \(\log_x\gt x^2-1\) ОДЗ логарифма \(x\gt 0\) Кривая логарифма лежит выше прямой в интервале \(0\lt x\lt 1\). Мы опускаем перехват, поскольку неравенство является строгим. Ответ.

-\sqrt=\sqrt=\sqrt

36hgjk

-\sqrt=1+\sqrt-\sqrt=1 $ Имеем: \bginning y=log_1\leftarrow \beginning y=0\ cos2x\gt 0\ cos2x

Преобразования логарифмических выражений

e 1\end \ cos2x\gt 0

37hghj

ightarrow-\frac\pi2+2\pi n\lt 2x\lt\frac\pi2+2\pi n

ightarrow-… \\\frac\pi4+\pi n\lt x\ltfrac\pi4+\pi n\ cos2x

e 1\Rightarrow 2x

e 2\pi n\Rightarrow x

e\pi n \end функция: \( \начало y=0\ -\frac\pi4+\pi n\lt x\lt\frac\pi4+\pi n,\ x

e\pi n \конец \).

eq 1 \), это экспонента, на которую нужно увеличить a, чтобы получить b.22 слайда Дата рождения: 1550 Место рождения: замок Мерчистон, тогдашний пригород Эдинбурга Дата смерти: 4 апреля 1617 Место смерти: Эдинбург Научная область: математика Альма-матер: Университет Сент-Эндрюса Известен как: Джон Напьер 2 Изобретатель логарифма.

eq 1 \), это экспонента, на которую нужно увеличить a, чтобы получить b.24 Слайд 1) D(f) — область определения функции. 2) Аппроксимация или избыточность функции. 4) Ограниченность функции. 5) Высшие и низшие значения функции. 6) Непрерывность функции. 7) E(f) — это диапазон значений функции. 3) Интервалы нарастания и спада функции. 8) Выпуклость функции. Графическая схема чтения: 4

eq 1 \), это экспонента, на которую нужно увеличить a, чтобы получить b.26 Слайд x y 0 c b c b y = x Экспоненциальная функция Логарифмическая функция (c ; b) Если точка (c;b) принадлежит экспоненциальной функции, то ИЛИ, говоря «логарифмическим языком» Что можно сказать о точке (b;c)?

В математике логарифмы изучаются с произвольными положительными основаниями. На практике, однако, наиболее распространены три из этих типов.

Первый — десятичный логарифм, основание которого равно 10. Дело в том, что до изобретения калькуляторов и компьютеров вы могли быстро и точно перемножать большие числа с помощью такого устройства, как логарифмическая линейка. История понятия логарифма начинается в 16 и 17 веках, когда возникла необходимость выполнять сложные арифметические операции с большими числами. Специальный символ lg используется для обозначения десятичных логарифмов, т.е. десятичного номера числа.

В связи с развитием электроники десятичные логарифмы сегодня используются гораздо реже, чем в 50-60 годах 20 века. Однако, поскольку почти вся компьютерная технология основана на двоичной системе счисления, двоичный логарифм log

b. Для его обозначения не используются специальные символы, но он особенно часто используется в информатике и при оценке сложности алгоритмов.

42gfh

Наконец, самый важный логарифм — натуральный логарифм. Это логарифм, основанием которого является число e, которое приблизительно равно 2,71828…. Он обозначается символом ln, т.е.

43gfdgd

Свойства натурального логарифма, отличающие его от других логарифмов, будут изучены позже в 11 классе. Обратите внимание, что многие натуральные формулы включают натуральный логарифм.

44gfdfg

Чтобы работать с логарифмическими выражениями, нам необходимо знать некоторые основные свойства логарифмов. Первый из них помогает вычислить логарифм произведения.

45gjhjk

Чтобы доказать это правило, введем обозначения. Допустим.

Затем нужно доказать, что z = x + y. Из определения логарифма мы можем записать

Теперь подставьте (1) и (2) в (3):

Отсюда следует, что a z = a x + y. В этом равенстве в обеих частях имеются степени одного и того же основания a. Это означает, что их степени также должны совпадать, т.е. их степени также должны совпадать.

что мы и пытались доказать.

Докажем это правило на простом примере. Очевидно, что

50gfdfg

Протокол

4 = 2, потому что 2 2 = 4

52gfdhgj

Протокол

53gfdg

8 = 3, потому что 2 3 = 8

Протокол

Переход к новому основанию алгоритма

32 = 5, потому что 2 5 = 32

С одной стороны, потому что

66hgfh

С другой стороны, 32 можно представить как произведение 4-8, т.е.

Принимая это во внимание, следует, что

Давайте покажем несколько примеров применения правила, которое мы только что доказали:

Независимо от этого, следует отметить, что правило сложения логарифмов действует и в том случае, когда складываются не два, а несколько логарифмов:

Второе правило используется для определения логарифма степени числа.

В общем случае экспонента может быть взята и записана перед знаком логарифма. Для ясности сначала приводится доказательство только для случая, когда r — целая степень. Тогда число b r можно представить как произведение r множителей, равных b. Однако логарифм такого произведения можно заменить суммой r логарифмов:25Однако более строгое доказательство должно учитывать и случай, когда r — отрицательное или даже дробное число. Итак, как и при доказательстве первого правила, введем переменные. Пусть

72gfgh

Получается, что мы должны доказать, что y = r-x. Следующие формулы следуют из определения логарифма:

73ghfgh

Подставляя первую формулу во вторую, получаем:4Опять же, если две равные силы имеют равные основания, то экспоненты обязательно равны:

74hgfh

Это и есть то равенство, которое мы пытались доказать.4Мы хотим показать, как работает это свойство логарифмов:2Это правило действует и в обратном направлении:

75hfgh

Задание. Чему равна дробьaТретье правило помогает вычислить логарифм дроби или класса.bЧтобы доказать это свойство логарифмов, мы используем два правила, которые мы уже доказали. Во-первых, вспомните, что любое число c в степени (- 1) является дробью 1/s:

76hfgh

Тогда доказательство записывается в две строки:

До сих пор мы рассматривали преобразования, при которых основание логарифма не меняется. Однако иногда необходимо сложить или вычесть логарифмы с разными основаниями. Предположим, нам нужно вычислить значение выражениясПоскольку основания двух логарифмов различны, мы не можем использовать формулу, которую вывели для разницы между логарифмами. Однако мы можем попытаться привести один из логарифмов к новому основанию. Существует специальная формула для такой операции.aДавайте докажем это утверждение. Для этого мы вводим новые переменные:cПосле определения логарифма мы можем написать уравнения.сСледовательно, a x = c y. Замените a на c z в этом уравнении и получите:aОтсюда следует, что zx = y, или x = y/z. Теперь подставьте логарифмы для x, y и z, и вы получите тождество, которое нам нужно доказать:cВернемся к примеру

78hfgh

Теперь мы можем выполнить эти вычисления, но для этого нам сначала нужно использовать логарифмa9 к базе 5:

79hgfh

Теперь мы можем рассчитать, какова искомая разница:aФормула для перевода в новое основание позволяет по-другому взглянуть на графики логарифмических функций. Пусть функция y =log1/аx. Попробуем свести его к экспоненте 2:

80hgfgh

Оказывается, что график y = log

82gfdg

Оцените статью
Uhistory.ru
Добавить комментарий