Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК). Что такое координатные векторы.

При работе с сегментами можно выполнять различные арифметические операции на основе их свойств. Математические правила для определения положения общего вектора называются линейными правилами. Различают следующие операции над разграниченными строками:

Векторы: основные понятия. Координаты вектора. Длина вектора

Тот факт, что вектор — это направленный отрезок, будет легче понять, если мы рассмотрим различия между скалярными и векторными величинами.

В следующей таблице «не-векторы» — это скалярные величины или простые скаляры, а «векторы» — векторные величины.

Невекторы Организации
Масса Гравитация
Длина Маршрут
Время Ускорение
Плотность Давление
Температура Скорость
Группа
Регион
Векторная единица

Векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.

Вектор обязательно проходит из точки A по прямой в точку B. Численное значение вектора — это длина, а физическое и геометрическое значение — направление. Отсюда следует первое, более простое определение вектора. Таким образом, вектор — это направленный отрезок, ведущий из точки A в точку B и обозначаемый через .

И чтобы начать различные операции с векторами, нам необходимо ознакомиться с еще одним определением вектора.

Вектор — это способ представления точки, которую можно достичь из определенной начальной точки. Например, трехмерный вектор обычно записывается в виде ( x, y, z ). Проще говоря, эти цифры показывают, какое расстояние нужно проехать в трех разных направлениях, чтобы достичь точки.

Давайте зададим вектор. В данном случае x = 3 (правая рука указывает вправо), y = 1 (левая рука указывает вперед), z = 5 (под точкой находится лестница, ведущая вверх). Соответственно, вы находите точку, пройдя 3 метра в направлении, на которое указывает ваша правая рука, затем 1 метр в направлении, на которое указывает ваша левая рука, затем поднимаетесь по лестнице и 5 метров до конечной точки.

Все остальные термины являются уточнениями вышеприведенного объяснения, необходимыми для различных операций с векторами, то есть для решения практических задач. Давайте рассмотрим эти более строгие определения, остановившись на формальных векторных задачах.

Физическими примерами векторных величин являются смещение материальной точки, перемещающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также сила, действующая на нее.

Геометрический вектор представлен в двух- и трехмерном пространстве в виде направленной линии. Это раздел с началом и концом.

Если A — начало, а B — конец вектора, то вектор обозначается символом или простой строчной буквой. На рисунке конец вектора обозначается стрелкой (рис. 1).

Длина (или единица) геометрического вектора — это длина отрезка, который его создает.

Два вектора считаются равными, если они могут быть выровнены путем параллельной передачи (если их направления совпадают), т.е. если они параллельны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.

В физике часто рассматривают фиксированные векторы, заданные точкой атаки, длиной и направлением. Если точка атаки вектора не имеет значения, его можно переместить в любую точку пространства, сохранив при этом его длину и направление. В этом случае вектор называется свободным вектором. В высшей математике векторы изучаются в области аналитической геометрии, где рассматриваются свободные векторы. Итак, если свободный вектор — это вектор, начало которого может находиться в любой точке пространства, то все векторы с одинаковым направлением и длиной считаются одинаковыми.

Координаты вектора в прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

В упорядоченной системе координат 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y — осью ординат, а ось 0z — осью аппликат.

Каждой точке M в пространстве мы присваиваем вектор

радиус-вектор точки M и спроецировать его на каждую из координатных осей. Обозначим значения соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки M, то есть абсциссой, ординатой и апликой, и записываются как упорядоченные точечные числа: M (x; y; z) (рис. 6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называется единичным вектором (или ортогональным вектором) оси. Обозначим через

Аналогично, порядки координатных осей: Ox, Oy, Oz

Теорема. Каждый вектор может быть проанализирован в терминах координатных осей:

Уравнение (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициенты этого разложения являются проекциями вектора на координатные оси. Поэтому коэффициенты разложения (2) вектора по координатным осям являются координатами вектора.

Поскольку вектор и тройка его координат однозначно определены в пространстве, вектор можно записать в следующей форме.

Векторные представления формы (2) и (3) идентичны.

Условие коллинеарности векторов в координатах

Векторы считаются коллинеарными, если они связаны следующим соотношением.

Пусть векторы будут. Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны друг с другом следующим образом.

то есть координаты векторов пропорциональны.

Пример 1. Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Найдите отношение координат данных векторов:

Координаты векторов пропорциональны, то есть векторы коллинеарны или, что одно и то же, параллельны.

Координатные векторы

Векторыi → и j →называются координатными векторами для данной системы координат.

Мы выводим любой вектор a → из начала координат. Согласно геометрическому определению операций над векторами, вектор a → можно представить в виде a → = a x — i → + a y — j →, где коэффициентами являютсяa xиa y— уникальны, их уникальность можно легко доказать обратным методом.

Разложение вектора

Разложение вектораa →с векторами координатi → и j →в плоскостиэто представление вида a → = a x — i → + a y — j → .

Коэффициенты a x и a yназываются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в этой системе координат принято записывать в скобках через запятую, при этом заданные координаты отделяются от векторного обозначения знаком равенства. Например, обозначение a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → в данной системе координат имеет координаты ( 2 ; — 3 ) и может быть представлен как продолжение координатных векторов i → и j → в виде a → = 2 — i → — 3 — j →.

Обратите внимание, что порядок записи координат важен; если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Из определений координат векторов и их анализа следует, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и могут быть представлены в виде i → = 1 — i → + 0 — j → ; j → = 0 — i → + 1 — j → .

Существует также нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 — i → + 0 — j → .

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равныесли их соответствующие координаты равны.

Противоположный векторэто вектор, противоположный данному вектору.

Из этого следует, что координаты такого вектора противоположны координатам этого вектора, т.е. — a → = ( — a x ; — a y ) .

Для прямоугольной системы координат в трехмерном пространстве приведенные выше утверждения могут быть определены аналогичным образом. В такой системе координат есть три координатных вектора i →, j →, k →, и любой вектор a → расширяется не по двум, а по трем координатам и имеет вид a → = a x — i → + a y — j → + a z — k →, а коэффициенты этого расширения ( a x ; a y ; a z ) называютсякоординаты вектора в заданной (трехмерной) системе координат.

Поэтому векторы координат в трехмерном пространстве также принимают значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ; 0 ), j → = ( 0 ; 1 ; 0 ), k → = ( 0 ; 0 ; 1 ), координаты нулевого вектора также нулевые 0 → = ( 0 ; 0 ; 1 ), координаты нулевого вектора также нулевые 0 → = ( 0 ; 0, 0, 0 ), и в этом случае два вектора считаются равными, если все три соответствующие координаты вектора между ними равны a → = b → ⇔ a x = b x, a y = b y, a z = b z, а координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a →, т.е. т.е. — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .

Координаты векторов

Из уроков алгебры мы знаем прямоугольную систему координат. Она имеет оси O и O, и каждая точка, отмеченная на плоскости, имеет свои координаты:

22 metod koordinat

Конечно, мы также можем отмечать векторы в координатной плоскости. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину 1 и направления которых соответствуют направлениям координатных осей. Вектор на оси О обозначается i, а вектор на оси О — j.

23 metod koordinat

Эти векторы называются единичными векторами или ортонами (также используется термин координатный вектор). Они неколлинеарны, что означает, что любой вектор на плоскости может быть разложен на единичные векторы. Коэффициенты такого разложения — это просто координаты вектора.

24 metod koordinat

Давайте на примере найдем координаты вектора. Предположим, у нас есть вектор a :

25 metod koordinat

Нам нужно разложить a на векторы i и j. Для этого нам нужно посмотреть на него с определенной точки. Удобно переместить вектор a в начало координат:

26 metod koordinat

Теперь нужно провести прямые, параллельные векторам i и j через конец a. В результате получится прямоугольник ABCD:

27 metod koordinat

Мы можем записать равенство:

28 metod koordinat

Поэтому координатами этого вектора являются числа 3 и 2. Он записывается следующим образом:

Обратите внимание, что порядок цифр в скобках имеет существенное значение. Первое число — это коэффициент разложения перед вектором i. Эту координату можно назвать координатой x (по аналогии с координатами точки). Второе число — это коэффициент вектора j, который является координатой y. Отметим также очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном примере легко видеть, что после перемещения вектора в начало координат, координаты его конца (обозначенного C) совпадают с координатами самого вектора. Точка C имеет координаты (3; 2).

30 metod koordinat

Это несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно переместить вектор из начальной точки, а затем исследовать координаты его конечной точки. Обратите внимание, что вектор, начало которого совпадает с началом координат, имеет специальное название — радиус-вектор.

31 metod koordinat

Задача. Найдите координаты векторов a, b, c и d на рисунке:

Сложение и вычитание векторов

Предположим, что у нас есть векторы a 1; у1>Предположим, у нас есть векторы a и b 2; у2>. Зная только их координаты, можете ли вы определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Согласно определению координат вектора (мы помним, что это коэффициенты разложения вектора по оригиналам), мы действительно можем написать:

42 metod koordinat

Это обозначение означает, что c имеет координаты 1+ х2; у1+ у2>. В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

43 metod koordinat

Поясним это правило на примере. Добавим векторы a и b. Понятно, что в результате получается новый вектор, который мы обозначим через c. Чтобы найти его первую координату, мы складываем первые координаты векторов a и b :

Чтобы найти его вторую координату, мы складываем вторые координаты соответствующих векторов:

В результате получается вектор с .

Задача. Добавьте векторы, имеющие координаты:

44 metod koordinat

Решение. Сначала просто сложите простые числа в скобках (и получите координату x ), затем сложите вторые числа (и получите координату y ):

45 metod koordinat

Теперь давайте попробуем понять, как вычисляется разница между двумя векторами. Предположим, что у нас есть векторы с заданными координатами a 1; у1>Предположим, у нас есть векторы a и b 2; у2>. Давайте снова запишем их эволюцию в единичных векторах:

46 metod koordinat

Теперь мы можем сформулировать правило для вычитания векторов:

47 metod koordinat

Например, вычтем вектор b из вектора a. Искомая разность — это вектор, координата x которого равна разности простых координат векторов a и b:

Аналогично вычисляем координату y:

В результате мы имеем вектор с координатами .

Задача. Вычтите вектор b из вектора a, если их координаты известны:

48 metod koordinat

Решение. Во всех случаях сначала вычтите первую координату вектора a из первой координаты вектора b, чтобы получить координату x искомого вектора. Затем повторите операцию со второй координатой (т.е. y):

49 metod koordinat

Теперь рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Опять же, вектор a с координатами x1и y1можно разложить на коэффициенты следующим образом:

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (назовем их a и b) коллинеарны, то обязательно существует число k такое, что

54 metod koordinat

Из равенства (1) и правила умножения вектора на число, описанного выше, вытекают два соотношения между этими координатами:

Если числа x2и y2не равны нулю, то из каждого уравнения можно выразить число k, тогда выражения можно приравнять:

Получаем соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратном направлении — если координаты векторов удовлетворяют производной, то можно смело утверждать, что векторы слиплись.

56 metod koordinat

Примечание. Фраза «тогда и только тогда» означает, что правило работает в обе стороны — из пропорциональности координат следует конгруэнтность векторов, а из конгруэнтности векторов следует пропорциональность координат.

Мы покажем, как использовать этот символ для коллинеарности векторов. Предположим, что вектор a имеет координаты, а вектор b имеет координаты. Нам нужно определить, являются ли они коллинеарными. Для этого мы делим координаты x друг на друга:

Получаем число 3. Затем также делим координату y:

Снова получаем 3. Тот факт, что в обоих случаях мы получаем одно и то же число, говорит о том, что векторы коллинеарны. Кроме того, мы можем написать, что вектор b в три раза больше a:

В данном примере мы разделили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно разделить координаты a на координаты b и наоборот:

Конечно, мы все равно получим то же число.

Особый случай — когда одна из координат вектора равна нулю. Например, предположим, что вектор имеет координаты 1>и y1≠ 0. Любой вектор, прилипший к нему, может быть определен умножением вектора на число k. В этом случае координаты 2; у2>являются:

Оказывается, что координата x коллинеарного вектора также обязательно равна нулю. Координаты y, в свою очередь2и y1может быть произвольным, так как мы всегда можем найти число k, для которого выполняется условие

Например, если у нас есть вектор с, то можно сказать, что он коллинеарен с любым вектором, первая координата которого также равна нулю,

Но любой вектор, чья x-координата НЕ равна нулю, НЕ коллинеарен с. В частности, он не является коллинеарным с вектором:

Та же логика применима, если не x-координата, а y-координата равна нулю.

62 metod koordinat

Если обе координаты вектора равны нулю, то это нулевой вектор, т.е. точка. Следует помнить, что такой вектор коллинеарен с любым другим вектором.

Задание. Определите, являются ли два вектора коллинеарными, если их координаты равны:

Оцените статью
Uhistory.ru
Добавить комментарий