Базис это в математике. Базис это в математике.

If ( x 1, …, x n ) ,\ldots ,x_)>and ( y 1, …, y n ) ,\ldots ,y_)>координаты вектора x находятся в старом или новом базисе, формула для изменения базиса имеет вид

Basis (linear algebra)

«Базисный вектор» перенаправляется сюда. Базисный вектор в контексте кристаллов, см. кристаллическая структура. Более общее понятие в физике см. в разделе «Система отсчета».

«База (математика)» перенаправляется сюда. Для других целей см. раздел «Основа».

Один и тот же вектор может быть представлен в двух разных базисах (фиолетовая и красная стрелки).

В математике множество B векторов в векторном пространстве V называется базисом, если каждый элемент V может быть однозначно записан как конечная линейная комбинация элементов из B. Коэффициенты этих линейных комбинаций называются базисами. Коэффициенты этой линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора относительно B. Элементы базиса называются базисными векторами. Множество B является базисом, если его элементы линейно независимы и каждый элемент V является линейной комбинацией элементов B. 1 Другими словами, базис — это линейно независимое множество, которое расширяется. Векторное пространство может иметь множество базисов; однако все базисы имеют одинаковое число элементов, называемое размерностью векторного пространства. Эта статья в основном посвящена векторным пространствам конечной размерности. Однако многие принципы применимы и к бесконечномерным векторным пространствам.

Contents

• 1 Definition
• 2 Examples
• 3 Properties
• 4 Coordinates
• 5 Change of basis
• 6 Related notions
  • 6.1 Free module
  • 6.2 Analysis
    • 6.2.1 Example
    • 10.1 General references
    • 10.2 Historical references

    Базис B векторного пространства V над полем F (например, вещественные числа R или комплексные числа C ) — это линейно независимое подмножество V, которое расширяется до V. Это означает, что подмножество B из V является базисом, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:

    линейная независимость для любого конечного подмножества_,\dotsc ,\mathbf _\>>B, если c 1 v 1 + ⋯ + c m v m = 0<\displaystyle c_\mathbf _+\cdots +c_\mathbf _=\mathbf>для некоторых c 1, …, c m<\displaystyle c_,\dotsc ,c_>в F, тогда c 1 = ⋯ = c m = 0<\displaystyle c_=\cdots =c_=0>Для каждого вектора v в V можно выбрать a 1, …, a n может быть выбрано<\displaystyle a_,\dotsc ,a_>в F и v 1, …, v n<\displaystyle \mathbf _,\dotsc ,\mathbf _>в B такой, что v = a 1 v 1 + ⋯ + a n v n<\displaystyle \mathbf =a_\mathbf _+\cdots +a_\mathbf _>.

    The scalars a i>называются координатами вектора v относительно базиса B, и по первому свойству они однозначно определены.

    Векторное пространство, имеющее конечный базис, называется конечно-мерным. В этом случае конечное подмножество можно рассматривать как само B, чтобы проверить линейную независимость в приведенном выше определении.

    Часто бывает удобно или даже необходимо упорядочить базисные векторы, например, при обсуждении ориентации или рассмотрении скалярных коэффициентов вектора относительно базиса, без явного обращения к элементам базиса. В этом случае необходимо упорядочение, чтобы связать каждый коэффициент с соответствующим базисным элементом. Этого упорядочения можно достичь путем нумерации базовых элементов. Чтобы показать, что порядок был выбран, говорят о сортированной базе, которая, таким образом, является не просто неструктурированным множеством, а последовательностью, индексированным семейством или чем-то подобным; см. ниже § Сортированные базы и координаты.

    Examples edit

    Синий и оранжевый векторы являются элементами базиса; зеленый вектор может быть задан векторами базиса и, таким образом, линейно зависит от них.

    Множество R 2 упорядоченных пар вещественных чисел является векторным пространством, подчиняющимся операциям сложения по компонентам

    где λ — любое действительное число. Простой базис этого векторного пространства состоит из двух векторов e₁= (1, 0) и e₂= (0, 1). Эти векторы образуют базис (так называемый формальный базис), поскольку каждый вектор v = ( a, b ) из R 2 может быть однозначно записан следующим образом.

    Каждая другая пара линейно независимых векторов из R 2, например, (1, 1) и (-1, 2), также является базисом R 2 .

    More generally, if F is a field, the set F n>из n — пар элементов F является векторным пространством для аналогично определенных сложения и скалярного умножения. Пусть

    be the n -tuple with all components equal to 0, except the i th, which is 1. Then e 1, …, e n _,\ldots ,\mathbf _>быть базисом F n ,<\displaystyle F^,>который называется формальным базисом F n .<\displaystyle F^.>

    Другой тип примера — полиномиальные кольца. Если F — поле, то коллекция F X всех многочленов в неопределенном X с коэффициентами в F является F-векторным пространством. Базисом этого пространства является мономиальный базис B, который состоит из всех мономов:

    Любой набор многочленов, содержащий ровно по одному многочлену каждой степени (например, базисные многочлены Бернштейна или многочлены Чебышева), также является базисом. (Такой набор полиномов называется полиномиальной последовательностью). Однако существует множество базисов для F X, которые не имеют такой формы.

    Содержание

    • 1 Происхождение термина
    • 2 Элементарное введение: базис в евклидовой плоскости и пространстве
      • 2.1 Обозначения
      • 3.1 Примеры
      • 3.2 Базис Гамеля и разрывная линейная функция
      • 4.1 Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций
      • 4.2 Проблема базиса

      У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (основание) обозначало горизонтальную основу для плоскости или пространственной фигуры. Современное математическое значение термина было дано Дедекиндом в статье 1885 года.

      Элементарное введение: базис в евклидовой плоскости и пространстве

      

      Основание в двухмерном пространстве (т.е. на плоскости). На схеме синий и оранжевый векторы являются элементами базиса (или базисными векторами); зеленый вектор можно представить как сумму базисных векторов, умноженную на некоторые коэффициенты (зеленый = -2 синий + 1 оранжевый), которая называется линейной комбинацией и поэтому линейно зависит от них, как и любой другой вектор в этом пространстве (плоскости), который также можно представить как линейную комбинацию синего и оранжевого, умноженную на некоторые коэффициенты.

      Каждая декартова система координат на плоскости или в трехмерном пространстве (а также в пространстве другого измерения) может быть представлена базисом, состоящим из векторов, каждый из которых выровнен вдоль своей координатной оси. Это относится как к ортогональным декартовым координатам (в этом случае соответствующий базис называется ортогональным), так и к косым декартовым координатам (которым соответствует неортогональный базис).

      Часто удобно выбрать в качестве единицы измерения длину (норму) каждого базисного вектора; такой базис называется нормализованным.

      Чаще всего базис выбирается таким образом, чтобы он был одновременно ортогональным и нормализованным, в этом случае он называется ортонормированным.

      В любом векторном пространстве базис может быть выбран различными способами (например, путем изменения направлений векторов или их длин).

      

      Декартовы координаты в трехмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (на рисунке справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). По умолчанию принято использовать базисы по часовой стрелке (это общепринятая конвенция, если нет особых причин для отклонения — и тогда это указывается в явном виде). Базис, соответствующий этой системе координат, представляет собой триплет векторов, каждый из которых выровнен вдоль оси (три базисных вектора обычно представляются как начинающиеся из общего начала координат).

      Обозначения

      Определение базисных векторов в принципе может быть произвольным. Часто, например, используется индексная буква (цифровая или соответствующая названию координатной оси):

      — типовые обозначения для основы двухмерного пространства (плоскости).

      — Трехмерное пространство. Для трехмерного пространства обозначение

      представление конкретного (произвольного) вектора
      или, используя знак суммы

      называется разложением этого вектора по данному базису.

      Числовые коэффициенты в базисе

      Базис Гамеля

      Базис Гамеля — это множество векторов в линейном пространстве, такое, что каждый вектор в пространстве может быть представлен в виде конечной линейной комбинации (полнота базиса), и что такое представление уникально для каждого вектора.

      Критерием единственности решения задачи расширения вектора в полной векторной системе является линейная независимость векторов, содержащихся в полной системе. Линейная независимость означает, что каждая линейная комбинация векторов в системе, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть, это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

      В случае линейных пространств, где каждый ненулевой коэффициент инвертируем, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить любой вектор полной системы как линейную комбинацию других векторов. (В более общем случае — модули на кольцах — эти два свойства не эквивалентны). Невозможность выразить любой вектор базиса с помощью остальных означает, что базис как полная система векторов минимален — если убрать любой из них, полнота теряется.

      Следующая лемма является наиболее важной в вопросе существования базисов (доказательство этой леммы не является конструктивным в общем случае и использует аксиому выбора):

      Лемма. Предположим, что система является линейно независимой системой векторов. Затем система до основания пространства.

      Следствием этой леммы является утверждение:

      1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
      2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
      3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

      Любые два базиса в линейном пространстве одинаково пространственны, так что мощность базиса — величина, не зависящая от выбора базисных векторов. Это называется размерностью пространства (называется конечной размерностью, в противном случае размерность бесконечна и пространство называется бесконечной размерностью.

      Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести представление векторов в координатах, что подготавливает применение аналитических методов.

      Линейное представление из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если оно определено в векторах данного базиса. Сочетание этого факта с возможностью представления векторов в координатах определяет использование матриц для изучения линейных представлений векторных пространств (особенно конечно-мерных). В этом случае многие факты теории матриц приобретают наглядное представление и становятся очень содержательными, если выражаться на языке линейных пространств. В этом случае выбор основы служит вспомогательным, но в то же время основополагающим инструментом.

      Примеры

      • Векторы образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: .
      • В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции:
      • Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

      Базис Гамеля и разрывная линейная функция

      Базис Гамеля можно использовать для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию » width=»» height=»» «.

      Примеры

      Синий и оранжевый векторы являются элементами базиса; зеленый вектор может быть определен векторами базиса и поэтому линейно зависит от них.

      • Набор р 2 из заказанные пары из действительные числа — векторное пространство для покомпонентного сложения
      • В более общем смысле, если F это поле, набор F п>из п — пары элементов F — векторное пространство для аналогично определенных сложений и скалярных умножений. Позволять
      • Если F это поле, кольцо многочленов F Икс из многочлены в одной неопределенный имеет основу B, называется мономиальный базис, состоящий из всех мономы:

      Характеристики

      Многие свойства конечных базисов следуют из леммы обмена Штейница, которая гласит, что для любого векторного пространства V, учитывая конечное множество S и линейно независимое множество L из n элементов V, можно заменить n хорошо выбранных элементов S элементами L, чтобы получить множество, которое содержит L, имеет другие элементы в S и имеет то же количество элементов, что и S.

      Большинство свойств, вытекающих из леммы обмена Стейница, остаются верными при отсутствии конечного костного множества, но для их доказательства в бесконечном случае обычно требуется аксиома выбора или ее более слабая форма, такая как лемма суперфузии.

      Если V — векторное пространство над полем F, то:

      • Если L является линейно независимым подмножеством остовного множества S ⊆ V, то есть основа B такой, что
      • V имеет основу (это предыдущее свойство с L будучи пустой набор, и S = V ).
      • Все базы V имеют то же самое мощность, который называется измерение из V. Это теорема размерности.
      • Генераторная установка S является основой V тогда и только тогда, когда она минимальна, то есть нет правильное подмножество из S также является порождающим набором V .
      • Линейно независимое множество L является базисом тогда и только тогда, когда он максимален, то есть не является собственным подмножеством какого-либо линейно независимого множества.

      Если V — векторное пространство размерности p, то:

      • Подмножество V с п elements является базисом тогда и только тогда, когда он линейно независим.
      • Подмножество V с п элементов является основой тогда и только тогда, когда они охватывают множество V .

      Координаты

      Пусть V — векторное пространство конечной размерности p над полем F и.

      По определению базиса, каждый v в V может быть записан следующим образом.

      v = λ 1 б 1 + ⋯ + λ п б п, b_ + cdots + lambda _ b_ ,>

      где коэффициенты λ 1, …, λ п, ldots, lambda _>являются скалярами (то есть элементами F ), которые называются координаты из v над B. Однако если говорить о набор коэффициентов теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов могут иметь одинаковые набор коэффициентов. Например, 3 б 1 + 2 б 2 + 2b_>и 2 б 1 + 3 б 2 + 3b_>имеют одинаковый набор коэффициентов и отличаются друг от друга. Поэтому часто удобно работать с согласованным базисом; обычно это делается путем обновления элементов базиса натуральными примами. Тогда координаты вектора образуют последовательность с одним и тем же индексом, и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченная основа также называется контекстом — слово, обычно используемое в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определить координаты.

      Пусть, как обычно, F п>это множество n-пар компонентов F. Это множество является F-векторным пространством, с определением сложения и скалярного умножения на компоненту. Карта

      φ : ( λ 1, …, λ п ) ↦ λ 1 б 1 + ⋯ + λ п б п, ldots, lambda _ ) mapsto lambda _ b_ + cdots + lambda _ b_>

      это линейный изоморфизм из векторного пространства F п>на V. Другими словами, F п>это координатное пространство из V, а п пара φ − 1 ( v ) (v)>это вектор координат от v .

      В обратное изображение к φ из б я>это п пара е я>все компоненты которого равны 0, кроме я th, то есть 1. е я>сформировать упорядоченную основу F п, ,>который называется его стандартная основа или же каноническая основа. Заказанная основа B это изображение φ канонической основы F п. .>

      Из предшествующего следует, что каждый упорядоченный базис является образом линейным изоморфизмом канонического базиса F п, ,>и что любой линейный изоморфизм из F п>на V можно определить как изоморфизм, отображающий канонический базис F п>на заданную упорядоченную основу V. Другими словами, это равносильно определению упорядоченного базиса V, или линейный изоморфизм из F п>в V .

      Координаты

      Пусть V — векторное пространство конечной размерности n над полем F и

      По определению asis, каждый v в V может быть записан однозначно как

      v = λ 1 b 1 + ⋯ + λ nbn, b_ + \ cdots + \ lambda _ b_ ,>

      где коэффициенты λ 1,…, λ n, \ ldots, \ lambda _>- это скаляры (то есть элементы F), которые называются координатами v над B. Однако, если говорить о наборе коэффициентов, теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов может иметь одинаковый набор коэффициентов. Например, 3 b 1 + 2 b 2 + 2b_>и 2 b 1 + 3 b 2. + 3b_>имеют одинаковый набор коэффициентов и отличаются друг от друга. Поэтому часто удобно работать с упорядоченным базисом; обычно это делается путем индексации элементов базиса натуральными простыми числами. Тогда координаты вектора образуют последовательность с аналогичным индексом, и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченный базис также называется контекстом — слово, часто используемое в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определить координаты.

      Пусть, как обычно, F n>это множество кортежей компонент F. Это множество является векторным пространством F с определением сложения и скалярного умножения на компоненту. Карта

      φ: (λ 1,…, λ n) ↦ λ 1 b 1 + ⋯ + λ nbn, \ ldots, \ lambda _ ) \ mapsto \ lambda _ b_ + \ cdots + \ lambda _ b_>

      инверсия по φ of bi>- кортеж n ei>, все компоненты которого равны 0, кроме i-го, равного 1. ei>образуют упорядоченную основу F n, ,>, которая называется его стандартной базой или каноническая основа. Упорядоченный базис B — это изображение φ канонического базиса F n. .>

      Из предшествующего следует, что каждый упорядоченный базис является образом линейным изоморфизмом канонического базиса F n, ,>и что любой линейный изоморфизм из F n>на V может быть определен как изоморфизм, который отображает канонический базис F n>на заданный упорядоченный базис V. Другими словами, это эквивалентно определению упорядоченного базиса V или линейного изоморфизма из F n>в V.

      Изменение базиса

      Пусть V будет векторным пространством размерности n над полем F. Даны два (упорядоченные) базы B old = (v 1,…, vn)>= (v_, \ ldots, v_ )>и B новый = (w 1,…, wn)>= (w_, \ ldots, w_ )>из V, это часто бывает полезно выразить координаты вектора x относительно B old>>в терминах координат относительно B n e w.>.>Это можно сделать с помощью формулы изменения базиса, которая описана ниже. Индексы «старый» и «новый» были выбраны потому, что обычно относятся к B old>>и B new>>как старая база и новая база, соответственно. Полезно описывать старые координаты в терминах новых координат, поскольку обычно существуют выражения, включающие старые координаты, и если мы хотим иметь эквивалентные выражения в терминах новых координат, это достигается заменой старых координат их выражениями в терминах новых координат.

      Обычно векторы нового базиса задаются их координатами относительно старого базиса, т.е.

      w j = ∑ i = 1 n a i, j v i. = \ sum _ ^ a_ v_ .>

      Если (x 1,…, xn), \ ldots, x_ )>и (y 1,…, yn), \ ldots, y_ )>- координаты вектора x в старом и новом базисе соответственно, формула замены базиса:

      Эта формула может быть кратко записана в матричной нотации. Пусть A будет матрицей ai, j, ,>и

      векторы-столбцы координат v находятся в старом и новом базисе соответственно, формула для изменения координат имеет вид.

      Формулу можно проверить, рассмотрев разложение вектора x по двум базисам: У одного

      x = ∑ j = 1 nyjwj = ∑ j = 1 nyj ∑ i = 1 nai, jvi = ∑ i = 1 п (∑ j = 1 nai, jyj) vi. x = \ sum _ ^ y_ w_ \\ = \ sum _ ^ y_ \ sum _ ^ a_ v_ \\ = \ sum _ ^ \ left (\ sum _ ^ a_ y_ \ right) v_. \ end>>

      Формула замены базиса является результатом уникальности разложения вектора по основе, здесь Б старый;>;>т.е.

      Связанные понятия

      Свободный модуль

      Для модулей линейная независимость и покрывающие множества определяются так же, как и для векторных пространств, хотя термин «порождающее множество» используется чаще, чем термин «покрывающее множество».

      Как и в векторных пространствах, базис модуля — это линейно независимое подмножество, которое также является генеративным множеством. Основное отличие от теории векторных пространств заключается в том, что не каждый модуль имеет базис. Модуль, имеющий базис, называется свободным модулем. Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку с их помощью можно описывать структуру модулей свойств свободными транспозициями.

      . Модуль над целыми числами — это то же самое, что и абелева группа.. Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяются модулями над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и, если G является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы H (то есть абелевой группой с конечным базисом), существует базис e 1,…, en, \ ldots, e_>из H и целое число 0 ≤ k ≤ n такое, что a 1 e 1,…, akek e_, \ ldots, a_ e_>является базисом G, для некоторых ненулевых целых чисел a 1,…, ak., \ ldots, a_ .>Более подробную информацию см. Свободная абелева группа § Подгруппы.

      Анализ

      В контексте бесконечного -мерные векторные пространства над действительными или комплексными числами, термин базис Гамеля (названный в честь Георга Хамеля ) или алгебраический базис может использоваться для обозначения базиса как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы отличаться от других понятий «базис», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важными альтернативами являются ортогональные базисы на гильбертовых пространствах, базисы Шаудера и базисы Маркушевича на линейных нормированных пространствах. В случае вещественных чисел R, рассматриваемых как векторное пространство над полем Q рациональных чисел, базисы Хамеля неисчислимы и имеют, в частности, мощность континуум, который является кардинальным числом 2 ℵ 0,>,>где ℵ 0>- Наименьшее бесконечное кардинальное число, кардинальное число целых чисел.

      Общей чертой других концепций является то, что они допускают бесконечные линейные комбинации базисных векторов для создания пространства. Конечно, это предполагает, что бесконечные суммы осмысленно определены в этих пространствах, как это имеет место в случае топологических векторных пространств — большого класса векторных пространств, включающего, например, пространства Гильберта, банаховы пространства или пространства Фреше.

      Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится » слишком большой »в банаховых пространствах: если X — бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое является полным (т.е. X является банаховым пространством ), то любой базис Гамеля в X обязательно бесчисленное множество. Это следствие теоремы Бэра о категориях. Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предпосылками предыдущего утверждения. В самом деле, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, а существуют бесконечномерные (неполные) нормированные пространства, которые имеют счетные базисы Гамеля. Рассмотрим c 00>, пространство между последовательностями x = (xn) )>действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой ‖ x ‖ = sup n | х п |. | x_ |.>Их формальный базис, состоящий из последовательностей, в которых только один элемент не равен 1, является счетным базисом Гамеля.

      Координаты

      Пусть V — векторное пространство конечной размерности p над полем F и.

      По определению базиса, каждый v в V может быть записан следующим образом.

      v = λ 1 б 1 + ⋯ + λ п б п, b_ + cdots + lambda _ b_ ,>

      где коэффициенты λ 1, …, λ п, ldots, lambda _>являются скалярами (то есть элементами F ), которые называются координаты из v над B. Однако если говорить о набор коэффициентов теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов могут иметь одинаковые набор коэффициентов. Например, 3 б 1 + 2 б 2 + 2b_>и 2 б 1 + 3 б 2 + 3b_>имеют одинаковый набор коэффициентов и отличаются друг от друга. Поэтому часто удобно работать с согласованным базисом; обычно это делается путем обновления элементов базиса натуральными примами. Тогда координаты вектора образуют последовательность с одним и тем же индексом, и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченная основа также называется контекстом — слово, обычно используемое в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определить координаты.

      Пусть, как обычно, F п>это множество n-пар компонентов F. Это множество является F-векторным пространством, с определением сложения и скалярного умножения на компоненту. Карта

      φ : ( λ 1, …, λ п ) ↦ λ 1 б 1 + ⋯ + λ п б п, ldots, lambda _ ) mapsto lambda _ b_ + cdots + lambda _ b_>

      это линейный изоморфизм из векторного пространства F п>на V. Другими словами, F п>это координатное пространство из V, а п пара φ − 1 ( v ) (v)>это вектор координат от v .

      В обратное изображение к φ из б я>это п пара е я>все компоненты которого равны 0, кроме я th, то есть 1. е я>сформировать упорядоченную основу F п, ,>который называется его стандартная основа или же каноническая основа. Заказанная основа B это изображение φ канонической основы F п. .>

      Из предшествующего следует, что каждый упорядоченный базис является образом линейным изоморфизмом канонического базиса F п, ,>и что любой линейный изоморфизм из F п>на V можно определить как изоморфизм, отображающий канонический базис F п>на заданную упорядоченную основу V. Другими словами, это равносильно определению упорядоченного базиса V, или линейный изоморфизм из F п>в V .

      Смена основы

      Позволять V быть векторным пространством размерности п над полем F. Учитывая две (упорядоченные) базы B о л d = ( v 1, …, v п )>= (v_, ldots, v_ )>и B п е ш = ( ш 1, …, ш п )>= (w_, ldots, w_ )>из V, часто бывает полезно выразить координаты вектора Икс относительно B о л d>>через координаты относительно B п е ш .>.>Это можно сделать с помощью формула замены базиса, что описано ниже. Индексы «старый» и «новый» были выбраны потому, что принято ссылаться на B о л d>>и B п е ш>>как старая база и новая база соответственно. Полезно описать старые координаты в терминах новых координат, так как в общем случае выражения используют старые координаты, и если мы хотим получить эквивалентные выражения в терминах новых координат, то это достигается заменой старых координат их выражениями в терминах новых координат.

      Обычно векторы нового базиса задаются своими координатами относительно старого базиса, т.е.

      ш j = ∑ я = 1 п а я, j v я. = sum _ ^ a_ v_ .>

      Если ( Икс 1, …, Икс п ), ldots, x_ )>и ( у 1, …, у п ), ldots, y_ )>Координаты вектора X в старом и новом базисе в соответствии с формулой замены базиса

      для I = 1,. n .

      Эту формулу можно кратко записать в матрица обозначение. Позволять А быть матрицей а я, j, ,>и

      векторы-столбцы координат v в старом и новом базисе соответственно, тогда формула для изменения координат имеет вид

      Формулу можно доказать, рассмотрев разложение вектора x на два базиса: в a

      Икс = ∑ я = 1 п Икс я v я, ^ x_ v_ ,>

      Икс = ∑ j = 1 п у j ш j = ∑ j = 1 п у j ∑ я = 1 п а я, j v я = ∑ я = 1 п ( ∑ j = 1 п а я, j у j ) v я. x & = sum _ ^ y_ w_ & = sum _ ^ y_ sum _ ^ a_ v_ & = sum _ ^ left (sum _ ^ a_ y_ ight) v_ .end>>

      Формула замены базиса является результатом единственности разложения вектора по базису, здесь B о л d ;>;>т.е.

      для I = 1,. n .

      Связанные понятия

      Бесплатный модуль

      Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, на вектор z, то получится определение коэффициента. Для модулей линейная независимость и ее объемлющие множества определяются так же, как и для векторных пространств, хотя термин «порождающее множество» используется чаще, чем «объемлющее множество».

      Как и в векторных пространствах, базис модуля — это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Основное отличие от теории векторных пространств заключается в том, что не каждый модуль имеет базис. Модуль, имеющий базис, называется свободным модулем. Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, так как их можно использовать для описания структуры собственных модулей с помощью свободных транспозиций.

      Модуль над целыми числами — это то же самое, что и абелева группа. Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяются модулями над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и, если грамм является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы ЧАС (это абелева группа, имеющая конечный базис), существует базис е 1, …, е п, ldots, e_>из ЧАС и целое число 0 ≤ k ≤ п такой, что а 1 е 1, …, а k е k e_, ldots, a_ e_>является основой грамм, для некоторых ненулевых целых чисел а 1, …, а k., ldots, a_ .>Более подробную информацию см. Свободная абелева группа § Подгруппы.

      Анализ

      В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами термин Основа Гамеля (названный в честь Георг Хамель ) или же алгебраический базис может использоваться для обозначения основы, как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы отличаться от других понятий «базис», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важные альтернативы: ортогональные базисы на Гильбертовы пространства, Базы Шаудера, и Базы Маркушевича на нормированные линейные пространства. В случае реальных чисел р рассматривается как векторное пространство над полем Q рациональных чисел базисы Гамеля неисчислимы и имеют, в частности, мощность континуума, который является количественное числительное 2 ℵ 0 ,>,>куда ℵ 0>Наименьшее бесконечное кардинальное число, кардинальное число целых чисел.

      Общей чертой других концепций является то, что они допускают бесконечные линейные комбинации базисных векторов для создания пространства. Конечно, это предполагает, что бесконечные суммы осмысленно определены в этих пространствах, как это имеет место в случае топологических векторных пространств — большого класса векторных пространств, включающего, например, пространства Гильберта, банаховы пространства или пространства Фрешетта.

      Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится «слишком большим» в банаховых пространствах: если Икс — бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое полный (т.е. Икс это Банахово пространство ), то любой базис Гамеля Икс обязательно бесчисленный. Это следствие Теорема Бэра о категории. Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предпосылками предыдущего утверждения. Действительно, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, а существуют бесконечномерные ( неполный ) нормированные пространства, имеющие счетные базисы Гамеля. Учитывать c 00>, пространство последовательности Икс = ( Икс п ) )>действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой ‖ Икс ‖ = Как дела п | Икс п |. | x_ |.>Его стандартный базис, состоящий из последовательностей, в которых только один элемент не равен 1, является счетным базисом Гамеля.

      Базис линейного пространства

      Определение 2.1 Набор линейно независимых элементов R называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x из R существуют действительные числа

      

      Равенство (2.1) называется расширением базиса элемента x в базисе.
      Мы хотим доказать, что каждый элемент x в R является базисно-расширяемым.

      Пусть это будет другое расширение x :

      

      Вычитая (2.1) из (2.2), получаем

      Поскольку базовые элементы

      

      

      Поэтому каждый элемент в R может быть расширен в базе

      Теорема 2.2 Если сложить любые два элемента линейного пространства R, то их координаты (относительно любой базы R ) складываются, а если умножить любой элемент x на любое число α, то все координаты x умножаются на α.

      Доказательство следует из аксиом 1-8 определения 1.1.

      Размерность линейного пространства

      Рассмотрим произвольное вещественное пространство R .

      Определение 3.1 Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов и все ( n +1 ) элементы уже линейно зависимы. Поэтому число n называется размерностью пространства R.

      Размерность пространства обозначается через dim.

      Определение 3.2 Линейное пространство R называется бесконечномерным, если существует любое количество линейно независимых элементов.

      Теорема 3.3 Пусть R — линейное пространство размерности n (dim R=n ), тогда любые n линейно независимых элементов этого пространства являются его базисом.

      Доказательство. Поскольку R — n-мерное пространство, из определения 2.1 следует, что существует множество из n линейно независимых элементов x — каждый элемент R. Тогда, по определению 3.1 (не все равны нулю), имеет место, что Eq.

      Обратите внимание, что λ₀≠0, поскольку в противном случае из уравнения (3.1) следует, что элементы λ₀и установить

      Из (3.3) следует, что каждый вектор из пространства R может быть разложен на элементы R. ■

      Теорема 3.4 Пусть R — линейное пространство, базис которого состоит из n элементов. Тогда размерность R равна n (dim R=n ).

      Доказательство. Пусть множество из n элементов будет R. Достаточно доказать, что любые n +1 элементов.

      Пусть элементы

      где n×n таблиц (элементы

      Поскольку A имеет обратную матрицу A-1. Матричное уравнение (3.5) решается следующим образом.

      Подставляя (3.8) в (3.6), получаем:

      Как видно из уравнения (3.9). Следовательно векторы

      Замена базиса и преобразование координат

      Пусть R находится в пространстве R вместе с начальным базисом. Векторы этого базиса могут быть выражены линейным объединением векторов исходного базиса следующим образом:

      Где матрицы состоят из линейных векторов ( ), а матрица P имеет вид:

      Матрица P называется матрицей подстановки базиса.

      Векторы исходного базиса в свою очередь выражаются в векторах нового базиса следующим соотношением:

      Подставляя (4.2) в (4.4), получаем :

      Из (4.6) следует, что QP=E, где E — единичная матрица, а матрицы Q и P — обратные инверсные матрицы.

      Рассмотрим, как изменяются координаты векторов при изменении базиса.

      Пусть x — вектор x с координатами и координатами, тогда

      Это следует из (4.8) и из (4.2):

      Поскольку квадратная матрица имеет полный порядок, у нее есть обратная матрица. Умножая левую и правую части уравнения (4.9) на обратную матрицу, получаем:

      Матрица P T называется матрицей преобразования координат, которая сдвигается на матрицу базового набора. Обратная матрица (P T ) -1 выводит новые координаты через старые.

      Инверсная таблица в таблице переноса для таблицы называется инверсной таблицей с ней.

      Обозначения

      Определение базисных векторов в принципе может быть произвольным. Часто, например, используется индексная буква (цифровая или соответствующая названию координатной оси):

      — типичные обозначения для основания двумерного пространства (плоскости),

      Декартовы координаты в трехмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая декартова система координат (левая и правая база). Базис, соответствующий этой системе координат, представляет собой тройку векторов, каждый из которых выровнен вдоль оси (три вектора базиса показаны как начинающиеся из общего начала координат).

      — В трехмерном пространстве. Для трехмерного пространства мы традиционно используем обозначение

      или, используя знак суммы S :

      a → = ∑ i = 1 3 a i e → i =\sum _^a_>_>

      называется разложением этого вектора по данному базису.

      Базис Гамеля

      Базис Хуммеля — это множество векторов в линейном пространстве, такое, что каждый вектор в пространстве может быть представлен в виде конечной линейной комбинации (полнота базиса), и это представление для каждого вектора уникально.

      Критерием единственности решения задачи расширения вектора в полной векторной системе является линейная независимость векторов, содержащихся в полной системе. Линейная независимость означает, что каждая линейная комбинация векторов в системе, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть, это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

      В случае линейных пространств, где каждый ненулевой коэффициент инвертируем, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить любой вектор полной системы как линейную комбинацию других векторов. (В более общем случае — модули на кольцах — эти два свойства не эквивалентны). Невозможность выразить любой вектор базиса с помощью остальных означает, что базис как полная система векторов минимален — если убрать любой из них, полнота теряется.

      Следующая лемма является наиболее важной в вопросе существования базисов (доказательство этой леммы не является конструктивным в общем случае и использует аксиому выбора):

      Лемма. Пусть S 1>— полная, а S 2>— линейно независимая система векторов. Тогда система S 1>содержит набор векторов, дополняющий S 2>За исключением базы пространства V .

      Доказательство строится на применении леммы Цорна. Рассмотрим S = S 1 ∪ S 2 \cup S_>. Пусть L — множество всех линейно независимых подмножеств S. Это множество частично упорядочено по принадлежности.

      Докажем, что объединение любой цепи линейно независимых множеств остаётся линейно независимым. Действительно, возьмём вектора a 1, …, a n ,\ldots ,a_>из объединения и возьмём множества из цепи, которым эти вектора принадлежат: a 1 ∈ A 1, …, a n ∈ A n \in A_,\ldots ,a_\in A_>. Так как эти множества — элементы цепи, их объединение даст максимальное из них, которое линейно независимо, а значит и вектора a 1, …, a n ,\ldots ,a_>которые содержатся в этом множестве, также линейно независимы.

      Объединение множеств цепи линейно независимо, а значит, содержится в множестве L. Применим к нему усиленную формулировку леммы Цорна, которая утверждает, что для каждого элемента из L есть максимальный элемент больший или равный ему. S 2 ∈ L \in L>, а значит, есть такой максимальный элемент B ∈ L, что S 2 ⊂ B \subset B>. Легко видеть, что B есть базис. Действительно, не будь B полной системой векторов, был бы вектор a ∈ S 1>который не может быть представлен в виде линейной комбинации векторов из B. Тогда B ∪>- линейно независима, поэтому B ∪∈ L \in L>что противоречит тому, что B является максимальным элементом L.

      Следствием этой леммы является утверждение:

      1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
      2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
      3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

      Любые два базиса в линейном пространстве одинаково пространственны, так что мощность базиса — величина, не зависящая от выбора базисных векторов. Если линейное пространство имеет конечную базу, то его размерность конечна и оно называется конечно-мерным; в противном случае его размерность бесконечна и пространство называется бесконечно-мерным.

      Базис Шаудера

      В другом языковом разделе есть более подробная статья Шаудера, основанная на(Числа.).

      где f i>- Числа, коэффициенты разложения вектора f в базисе\>>.

      Чтобы подчеркнуть разницу между определением базиса Хамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) и базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается расширение до сходящихся рядов), термин линейный базис часто используется для первого, оставляя термин базис для расширений рядов. Мощность линейного базиса также называется линейной размерностью. В конечно-мерных пространствах эти определения совпадают из-за конечного базиса. В бесконечно-мерных пространствах эти определения существенно отличаются, и линейная размерность может быть намного больше мощности базиса Шаудера.

      Например, ни одно бесконечно-мерное гильбертово пространство не имеет измеримого линейного базиса, хотя оно может иметь измеримые базисы Шаудера путем разложения в ряд, включая ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций<1, 1 2 sin ⁡ ( 2 π n x ), 1 2 cos ⁡ ( 2 π n x ) ∣ n = 1, 2, …>>>\sin(2\pi nx),>>\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots \>>является базисом Шаудера в пространстве L 2 0, 1 0,1>. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормальных базисов неприменимо, но часто можно построить базисы Шаудера, которые не используют ортогональность.

      Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C a, b

      C a, b — банахово пространство с нормой ‖ f ‖ = max x ∈ a, b | f ( x ) | |f(x)|>. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в гильбертовом пространстве L 2 a, b a,b>, но не в C a, b. Шаудер строит базис Шаудера\>>для C a, b. Он держит,x_,\dots ,x_,\dots \>>— плотное счетное множество точек на a, b, x 0 = a =a>, x 1 = b<\displaystyle x_=b>, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка a, b, упорядоченными произвольным образом. Положим: e 0 = 1 =1>e 1 = ( x — a ) / ( b — a )<\displaystyle e_=(x-a)/(b-a)>— является линейной функцией. Определите линейную функцию e n ( x )<\displaystyle e_(x)>такой, что e n ( x i ) = 0<\displaystyle e_(x_)=0>если i = 0, 1, …, …, n — 1 и e n ( x n ) = 1<\displaystyle e_(x_)=1>. Точки x 0, x 1, x 2, …, x n − 1 ,x_,x_,\dots ,x_>Разделите a, b на n — 1 частей. Точка x n<\displaystyle x_>лежит точно в одной из двух областей. Пусть это будет I n = x j, x k<\displaystyle I_=x_,x_>для некоторых j, k ∈<0, …, n − 1>>(порядок нумерации чисел x 0, x 1, x 2, … ,x_,x_,\dots>не совпадает с его значением).

      Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение L 5 ( x ) (x)>. Красным цветом на графике выделен участок, на котором L 5>отличается от L 4>(синяя пунктирная линия).

      Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции f ( x ) ∈ C a, b по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений f ( x i ) )>. Частичная сумма первых n + 1 членов ряда.

      L n ( x ) = ∑ i = 0 n f i e i ( x ), (x)=\sum _^f_e_(x),>

      является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией f ( x ) с узлами в точках x 0, x 1, x 2, …, x n ,x_,x_,\dots ,x_>Формула для коэффициентов f n = f ( x n ) — L n — 1 ( x n ) f 0 = f ( a )<\displaystyle f_=f(x_)-L_(x_);\;\;f_=f(a)>(см. рис.)