Алгоритм Евклида — нахождение наибольшего общего делителя. Алгоритм евклида для нахождения нод.

Вычислительная сложность — это понятие в информатике для построения различных алгоритмов, обозначающее функциональную зависимость объема работы от типа входных данных. Для леммы Евклида, в полном понимании, она равна произведению числа шагов деления на вычислительную сложность абстрактного вычислительного элемента.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

В этом уроке мы поговорим о том, как рассчитать NOD и NOC. Дело в том, что каждый программист должен уметь выполнять элементарные арифметические вычисления, поскольку алгоритм вычислений можно найти во многих программах. Кроме того, вы уже должны это знать, если вы изучали это в школе в 5 классе.

Чтобы найти общий делитель, необходимо знать следующее:

Помните: наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел — это наибольшее целое число, на которое два исходных числа делятся без остатка. Однако одно из простых чисел должно быть больше нуля. Помните: если одно из двух чисел равно нулю, НОД — это число, которое больше нуля. Напомним, что существует понятие простых чисел, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, 5 и 4, НОД этих чисел равен 1, так как при делении 5 на 4 получается целое число без остатка, поэтому НОД = 1.

Все остальные числа, у которых НОД больше 1, вычисляются по принципу бинарного алгоритма или алгоритма Евклида. В этой статье мы рассмотрим алгоритм Евклида, который также называется взаимно обратным вычитанием, поскольку НОД получается путем последовательного вычитания меньшего значения из большего. Давайте применим алгоритм Евклида к нашему примеру NOD(12, 30). Согласно алгоритму Евклида, мы должны вычесть меньшее значение из большего, т.е. 30-12-12=6 В число 30 число 12 вписывается только дважды, число 12 называется кратным, а остаток — числом 6. Теперь мы должны вычесть из числа 30 кратное 6, что и получилось: 30-6-6-6-6-6=5. ЧИСЛО из 12 и 30 равно 6. Поскольку нам нужно найти наибольший делитель, в нашем случае 6 больше 5, поэтому НОД (12,30) = 6. Как видите, это несложно, давайте составим блок-схему.

Блок-схема «Алгоритм Евклида»

• 12=30 | a==b; //в нашем случаи 12 не равно 30
• 12
• 30 12 | a==b; b==a; //меняем местами
• 30-12=18 | a=a-b;//производим вычитание
• 18=12| a==b;//равно ли а и b
• 18<12| ab
• 18-12=6|a=a-b; //производим вычитание
• 6=12|a==b; //в нашем случаи 6 не равно 12
• 6
• 6 12| a==b; b==a; //меняем местами
• 12-6=6|a=a-b;//производим вычитание
• 6=6| a==b; //в нашем случаи 6 равно 6
• НОД(12,30)=6;

Наименьшее общее кратное(НОК).

NOB — это число, которое является наименьшим положительным целым числом из двух или более положительных целых чисел, разделенных по четности на каждое из исходных чисел.

Самый простой и быстрый способ реализации кода — сначала вычислить НОД двух чисел, а затем разделить произведение двух исходных целых чисел a и b на НОД. Давайте рассмотрим пример того, как это может выглядеть. Давайте возьмем числа 12 и 30, чтобы напомнить нам о наибольшем общем кратном 6. NOD=6 Согласно формуле NOC=a*b/ NOD, NOC=12*30/6=60. Существуют и другие способы вычисления NOC, например, разложение нормального числа. В данном примере сначала нужно выяснить, какое число больше, затем разделить числа на кратные 12 = 2*2*3 и 30 = 2*3*5. Вычислите произведение кратных чисел числа 30, так как оно самое большое. В следующей операции удаляются те же цифры, что я делал от наибольшей к наименьшей, а оставшиеся кратные 12 умножаются вместе так, что остается только число 2, которое умножается на произведение кратных 30, результат вычисления, и получается NOx. Это рассчитывается как NOC=2*3*5*2=60. Это можно представить в виде столбцов, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2

В принципе, ничего сложного, главное — не запутаться. Теперь мы нарисуем блок-схему наименьшего общего множителя (LCC).

Алгоритм нахождения НОД делением

1. Большее число делим на меньшее.
2. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
3. Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
4. Переходим к пункту 1.

Пример: Найдите НОД для 30 и 18.30 / 18 = 1 (остаток 12) 18 / 12 = 1 (остаток 6) 12 / 6 = 2 (остаток 0) Наконец. УЗЕЛ (30, 18) = 6

a=50b=130в то время какa!=0иb!=0:ifa>б: а=a % bиначе: b=b % aвывести(a + b)

Цикл записывает остаток от деления в переменную a или b. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это означает, что другой содержит NOD. Однако мы не знаем, какой именно. Поэтому мы определяем сумму этих переменных для НОД. Поскольку одна из переменных содержит значение ноль, она не влияет на результат.

Алгоритм нахождения НОД вычитанием

1. Из большего числа вычитаем меньшее.
2. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
4. Переходим к пункту 1.

Пример: Найдите НОД для 30 и 18. 30 — 18 = 12 18 — 12 = 6 12 — 6 = 6 — 6 = 0 Наконец. КИВОК (30, 18) = 6

a=50b=130в то время какa!=b:ifa>б: а=a - bиначе: b=b - aвывести(a)

Функция вычисления НОД

defgcd(a,b):в то время какa!=b:ifa>б: а=a - bиначе: b=b - aвывести(a)

Примечание. В математическом модуле языка программирования Python есть функция gcd, которая вычисляет наибольший общий делитель двух чисел.

>>>import math>>>math.gcd(30, 18) 6

Решение проблем в Python

Алгоритм Евклида на C#

Сегодня мы рассмотрим старый и красивый евклидовский алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел и запрограммируем его на C#. Евклид был греческим ученым, философом и математиком, жившим в III веке до нашей эры.

Где применяется алгоритм Евклида ?

• Криптографический алгоритм с открытым ключом RSA.
• Является основным инструментом для доказательства теорем в современной теории чисел.

Алгоритм Евклида — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел.

Например, наибольший общий делитель (НОД) для чисел 12 и 8 равен 4.

Алгоритм Евклида (метод вычитания)

Основное правило алгоритма Евклида для вычитания:

То есть, вы можете заменить наибольшее число на разность двух чисел, и НОД останется тем же самым.

Давайте создадим алгоритм:

Сначала введем числа m, n. Затем мы вводим цикл. Цикл выполняется до тех пор, пока m и n не станут равными. Когда эти переменные равны, мы можем выйти из цикла и вывести любое число (m или n), потому что наибольший общий делитель (НОД) двух равных чисел равен этому числу. В самом цикле мы заменяем большее число на разность этих чисел по схеме, описанной выше. Рано или поздно числа будут равны, и это значение будет НОД. Давайте запрограммируем евклидов алгоритм на C#

используясистема,используяSystem.Collections.Generic,используяSystem.Linq,используяSystem.Text,используяSystem.Threading.Tasks,Пространство именConsoleApp38.<КлассПрограмма<статическая пустотаГлавная страница(Строкаargs)<intm, n, nod; m =Конвертировать.ToInt32(Консоль.ReadLine()); n =Конвертировать.ToInt32(Консоль.ReadLine());в то время как(m != n)<if(m>n)иначе>nod = n,Консоль.WriteLine("NOD:"+ кивок),Консоль.ReadKey();>>>

Алгоритм Евклида (метод деления)

Вы можете написать евклидов алгоритм с остатком от деления!

Где % — остаток от деления. Давайте запрограммируем метод деления евклидова алгоритма на C#

используясистема,используяSystem.Collections.Generic,используяSystem.Linq,используяSystem.Text,используяSystem.Threading.Tasks,Пространство именConsoleApp38.<КлассПрограмма<статическая пустотаГлавная страница(Строкаargs)<intm, n, nod; m =Конвертировать.ToInt32(Консоль.ReadLine()); n =Конвертировать.ToInt32(Консоль.ReadLine());в то время как(m!= 0 && n!=0)<if(m>n)иначе>nod = m + n,Консоль.WriteLine("NOD:"+ кивок),Консоль.ReadKey();>>>

Алгоритм Евклида с «делением»

Пусть a и b — целые числа, а r — остаток от деления a на b. Тогда NOD(a, b) = NOD(b, r).

Эта формула также позволяет ограничить вычисление наибольшего общего делителя пары чисел вычислением наибольшего общего делителя другой пары чисел.

Пример. УЗЕЛ(82, 60) = УЗЕЛ(22, 60) = УЗЕЛ(22, 16) = УЗЕЛ(6, 16) = УЗЕЛ(6, 4) = УЗЕЛ(2, 4) = УЗЕЛ(0, 2) = 2.

var a, b: Integer; begin write('a = '); readln(a); write('b = '); readln(b); while (a<>0) и (b<>0) do if a>= b тогда a := a mod b иначе b := b mod a; write(a + b) end.

Вот и все на сегодня! В следующих уроках вы узнаете еще несколько модификаций алгоритма Евклида и способы нахождения НОД.

Актуальные вопросы теории и практики современного образования

К этой скидке мы можем добавить скидку для вашего учебного заведения (в зависимости от того, сколько ваших коллег прошли курсы «Инфоурок»).

В настоящее время 54 255 школ и колледжей имеют право на накопительные скидки (от 2% до 25%). Чтобы узнать, какая скидка распространяется на всех сотрудников вашего учреждения, войдите в личный кабинет Инфорурок.

«Инструменты для формирования умений и навыков самостоятельной работы на уроках математики в 5-9 классах»

1 Слайд Найдите НОД или НОК чисел и расшифруйте фразу:

2 Слайд 11 85 6 1 360 24 300 17 42 12 16 34 6 2 120 6 E L L E O S A O T K

3 СЛАЙД О С Т А Т О К Число делится на другое число. STOP=0 NOB — больший из двух, NOD — меньший из двух.

4 Слайд 85 1 360 300 A и B — взаимно обратные простые НОД(A,B) = 1 НОК(A,B)=a*c

5 слайд ПРАВИЛО АНАЛИЗА НОД, НОК 1. Разложите эти числа на простые множители. 3. вычислить произведение сил. 2. Чтобы найти наибольший общий делитель, возведите общие простые множители в наименьшую степень. 2. чтобы найти наименьшее общее кратное, возведите все различные простые коэффициенты в наибольшую степень.

6 Слайд ИСТОРИЯ Проверьте формулу НОД(a,c)=(a*c):НОД(a,c) У каких пар чисел НОД =6? 6=ΚΌΜΒΟΣ(48,18)=ΚΌΜΒΟΣ(30,18)=ΚΌΜΒΟΣ(12,18)=…. 30=48-18 12=30-18 УЗЕЛ(12,6)=УЗЕЛ(6,6)

7 слайд Евклид или Эвклид (греч. Euclid, ок. 300 г. до н.э.) — древнегреческий математик. Алгоритм Евклида — это алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Он назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал алгоритм в «Элементах VII и X». В простейшем случае алгоритм Евклида применяется к паре натуральных чисел, и образуется новая пара, состоящая из меньшего числа и разности между большим и меньшим числом. Процесс повторяется до тех пор, пока числа не станут равными. Найденное число является наибольшим общим делителем исходной пары. Древнегреческие математики назвали этот алгоритм «взаимным вычитанием».