Ключевым свойством десятичных чисел является то, что добавление одного или нескольких нулей к правой части десятичного числа не изменяет его значения. Это означает, что если в дроби много нулей, их можно просто отбросить. Например:.
Вычитание десятичных дробей: правила, примеры, решения
В этом разделе описаны другие операции, которые можно выполнять над десятичными числами. В этом задании вы узнаете, как вычислить разницу между десятичными дробями. Вы изучите правила для конечных и бесконечных дробей (циклических и ациклических) и увидите, как измерить разность дробей в виде последовательности. В части 2 вы узнаете, как вычитать десятичные числа из натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел.
Укажем ранее в этой главе, что рассматривается только случай вычитания малой дроби из большой, т.е. когда результат положительный, а другой случай — нахождение разности между логическими и действительными числами, с которым нужно разобраться Отдельно.
Основные правила вычитания десятичных дробей
Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных круглых десятичных дробей можно свести к нахождению разности между обыкновенными дробями. Ранее мы упоминали, что десятичные числа можно записать в виде обыкновенных дробей. Давайте рассмотрим несколько примеров нахождения различий на основе этого правила.
Найдите разность 3, 7-0 и 31.
Перепишите десятичные дроби как обычные дроби: 3, 7 = 37 10 и 0, 31 = 31100.
Что делать дальше, мы уже изучили. Мы получили ответ для перевода в десятичную систему счисления: 339 100 = 3, 39.
Это можно легко рассчитать в десятичных числах в одной колонке. Как использовать этот метод? Давайте решим эту проблему и покажем вам.
Вычислите разность между циклическими дробями 0, (4) и циклическими дробями 0, 41 (6).
Переведите показания циклических дробей в обычные дроби и вычислите.
0, 4 (4) = 0, 4 + 0, 004+.. = 0, 4 1-0, 1 = 0, 4 0, 9 = 49. 0, 41 (6) = 0, 41 + (0, 006 + 0, 0006 + …) = 41100 + 0, 006 0, 9 = = 41100 + 6900 = 41100 + 1150 = 123300 + 2300 = 125300 = 5 12
Итого: 0, (4) — 0, 41 (6) = 4 9-5 12 = 16 36-15 36 = 1 36
При необходимости ответ можно перевести в десятичные числа.
Ответ: 0, (4)-0, 41 (6) = 0, 02 (7).
Рассмотрим далее, как найти разность, если условие имеет бесконечные ациклические дроби. Такие случаи также можно свести к нахождению разности между конечным числом десятичных дробей путем округления бесконечной дроби до определенной части, обычно наименьшей из возможных.
Нахождение разности 2, 77369 … -0, 52.
Вторая дробь члена является конечной дробью, а первая дробь — бесконечной ациклической дробью. Округлите до четырех знаков после запятой: 2, 77369 … ≈ 2, 7737. Затем можно выполнить вычитание: 2, 77369 … -0, 52 ≈ 2, 7737-0, 52.
Как считать разность десятичных дробей столбиком
Вычитание из столбца позволяет быстро и легко найти разницу между конечными десятичными числами. Процесс вычисления очень похож на процесс для натуральных чисел.
Чтобы вычислить разницу между десятичными знаками в столбце, необходимо
- если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
- запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
- выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
- в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.
Давайте рассмотрим несколько конкретных примеров применения этого метода на практике.
4 Найдите разность между 452, 294-10 и 30501.
Первым шагом является выравнивание количества десятичных знаков. Добавьте к первой дроби два нуля, чтобы получить дробь в виде 4 452, 29400 с тем же значением, что и исходная дробь.
Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик:
Считаем как обычно, игнорируя запятые:
В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте:
Результат: 4 452, 294-10, 30501 = 4 441, 98899.
При записи десятичных дробей нижние и верхние разряды чисел должны соотвествовать друг другу: целые под целыми, десятые под десятыми, сотые под сотыми, тысячные под тысячными
Десятичные дроби
Как удаляются нормальные фракции? Для этого сократите дробь до одинакового знаменателя, запишите под одной дробной чертой и вычтите числитель. Это может привести к образованию отрицательных дробей.
Можно ли сделать то же самое с десятичными дробями? Логически это кажется применимым, потому что знаменатель десятичной дроби равен 10. Это самая распространенная ошибка. Учащиеся заменяют десятичные дроби со знаменателем 10, когда на самом деле знаменателем десятичной дроби является любое число, кратное 10, включая 10, 100, 100 и т.д.
Десятичные числа не имеют знаменателя, но обозначаются количеством десятичных знаков. Если после десятичной точки стоит только один знак, например, 0,1, то знаменатель равен 10, и так далее. Другими словами, количество цифр указывает на количество нулей в знаменателе.
Поэтому десятичные дроби можно вычитать без приведения к единому знаменателю, но при этом необходимо использовать другой алгоритм.
Вычитание десятичных дробей
Для вычитания десятичных чисел нет необходимости заменять их обычными дробями. На примере рассмотрим алгоритм вычитания десятичных чисел.
0,8-0,051 — обратите внимание, что знаменатель первой дроби равен 10, а знаменатель второй дроби равен 1000. Как я могу вычесть оба числа в одном знаменателе, не записывая их в виде обычных дробей? Впишите в число с наименьшим знаменателем столько нулей, чтобы оба числа имели одинаковый знаменатель, т.е. одинаковое количество десятичных знаков.
0,8-0,051=0,800-0,051 — да. Теперь вы можете вычитать числа в соответствии с обычными правилами вычитания. Также запишите общий множитель в виде десятичной дроби с тем же количеством знаков после запятой и числителем 1, чтобы не забыть количество знаков после запятой.
0,800-0,051 = 0,001 (800-51) = 0,001 (749) — умножьте для получения конечного результата.
0,001 * 749 = 0,749 — это окончательный результат.
Позже, когда вы приобретете необходимые навыки и поймете принцип вычитания, вы сможете пропустить большинство шагов, записывая только первое выражение и конечный результат.
Вычитание смешанных десятичных дробей
Можно ли использовать тот же алгоритм для смешанных дробей? Да, вы можете использовать тот же алгоритм для смешанных дробей. Однако нужно быть осторожнее, так как есть риск устроить праздник в неположенном месте. Чтобы избежать ошибок, рассмотрим небольшой пример.
3,6-5,059 — Первый шаг — приведение дробей к одному знаменателю.
3,6-5,059 = 3,600-5,059Следующим шагом будет взятие в скобки наименьшего общего знаменателя.
3,6-5,059 = 3,600-5,059 = 0,001 (3,600-5059) = 0,001 * (-1459) — Здесь важно правильно поставить десятичную точку и правильно выполнить умножение.
3,6-5,059 = 3,600-5,059 = 0,001 (3600-5059) = 0,001 (3600-5059) = 0,001 * (-1,459) = -1,459 — вычитаемое оказалось меньше вычитаемого и поэтому является отрицательным числом.
Поскольку вычитаемая дробь имеет два десятичных знака, запишите вычитаемое число в виде дроби 15.00. Затем подсчитайте колонну, как обычно.
Сложение десятичных дробей
Мы знаем, что десятичные числа состоят из целой части и десятичной части. При сложении десятичных чисел каждая часть должна складываться отдельно.
Рассмотрим примеры сложения в 3.2 и 5.3. Для удобства используется метод столбцов.
Эти две дроби записаны в столбцах. Целое одной части дроби должно быть меньше целого другой части. В школах это известно как «партия под партой». Например:.
Добавьте десятичную часть: 2+3=5. Запишите 5 в десятичной части ответа.
Теперь целая часть: 3 + 5 =8. Запишите 8 в целую часть ответа: 8 + 5 = 8.
Отделите целую часть от десятичной так, чтобы запятая находилась под запятой.
Ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.
Вычитание десятичных дробей
Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Используются те же правила: «партия ниже партии» и «одинаковое количество цифр после партии».
Пример 1. Найдите значение от 2,5 до 2,2
Запишите формулу в столбики так, чтобы под запятой стояла запятая.
Вычислите десятичную часть 5 — 2 = 3. Напишите тройку в десятой части ответа.
Вычислите целую часть 2-2=0. Запишите ноль в целочисленной части ответа.
Разделите запятой целую часть и десятичную часть.
Пример 2.Вычислить: 7,353-3,1
В этой формуле количество знаков после запятой различно: 7,353 имеет три знака после запятой, а 3,1 — только один. Поэтому в десятичной дроби 3,1 в конце добавляются два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обоих десятичных разрядах. Таким образом, 3,1 = 3,100.
Заполните эти числа в колонках для расчета.
Пример 3. расчет: 3-1.2
В этом примере из целого числа нужно вычесть десятичные дроби. Запишите формулу в столбики так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была меньше 3. Это будет выглядеть следующим образом
Сохраняйте одинаковое количество знаков после запятой.
Теперь вычтите десятичную дробь: 0-2. Число 2 не может быть вычтено из нуля. Поэтому возьмите одну из следующих цифр. Таким образом, 0 переводится в число 10; вычислите десятые доли: 10-2=8. Запишите 8 в десятую часть ответа.
Теперь давайте удалим весь компонент. Сначала это был номер 3, но мы купили один, так что теперь у нас их два. Следовательно, 2 —1=1. Напишите один для всего ответа.
Разделите запятой целую часть и десятичную часть.
Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных чисел. Существует специальный алгоритм повторения этой последовательности для каждого пятого и шестого класса.
Алгоритм сложения (вычитания) для десятичных чисел
- Уравнять в дробях количество знаков после запятой.
- Записать дроби друг под другом так, чтобы одна запятая оказалась под другой запятой.
- Выполнить сложение (вычитание) и не обращать внимание на запятую.
- Поставить в ответе запятую под запятой.
Проще говоря, правила сложения (вычитания) десятичных чисел таковы: чтобы сложить (вычесть) два десятичных числа, нужно вписать каждую запятую в столбик сверху и снизу. Затем они складываются (вычитаются) как числа Хэмминга, а запятая вычитается.
Если число после запятой повторяется бесконечно, оно называется точкой. В этом случае используется сокращенное обозначение. Например, если ответ равен 4, 6764444444, его можно заменить символом 4,67 (4). Такое выражение называется бесконечной десятичной дробью.
Решение примеров
Примеры помогают лучше понять материал. Они готовят вас к решению подобных проблем в реальной жизни. На практике мы постоянно сталкиваемся с нецелыми значениями. Это говорит о том, что изучение этих правил необходимо.
При сложении и вычитании десятичных чисел записывайте их в столбик.
В сумочке у Массы было 215 рублей и пять девочек. Она решает купить куклу, которая стоит 83 рубля 7 девочкам. Она хочет добавить розовое платье для танцев к своей красивой кукле. Его цена составляет 51 рубль. Сколько денег у нее останется после покупки куклы и платья?
Этот пример решается в два этапа. Сначала подсчитайте, сколько денег останется после покупки куклы.
Во-вторых, вычтите стоимость платья для куклы.
Это общая сумма денег, оставшихся для маса.
Для того чтобы применить полученный алгоритм и успешно справиться с ним в последующих, более сложных заданиях, изучается сложение и вычитание десятичных чисел в 5 классе. Десятичные числа являются наиболее распространенным видом арифметических действий и используются повсеместно. По этой причине поведение между такими числами преподается детям начальной школы.
Прежде чем мы рассмотрим сложение и удаление дробей, давайте познакомимся с некоторыми основными определениями, видами дробей и различиями между дробными дробями.
Правило сложения и вычитание десятичных дробей
Числовые вычислительные операции, такие как сложение и удаление дробей, необходимы для манипулирования дробями с целью получения искомых результатов. Особая важность выполнения этих действий заключается в том, что многие сущности во многих областях человеческой деятельности представлены именно в десятичной форме. Поэтому для выполнения некоторых действий со многими объектами материального мира необходимо добавлять или отнимать десятичные дроби. Следует отметить, что на практике эти действия используются практически повсеместно.
Процедура сложения и вычитания десятичных дробей математически аналогична процедуре для целых чисел. Каждая цифра числа должна быть записана под той же цифрой другого числа.
Для удаления десятичных чисел действуют следующие правила.
— Во-первых, цифры после десятичной точки должны быть одинаковыми.
— Во-вторых, они должны быть записаны друг под другом до запятой.
— Для удаления десятичных чисел следуйте тем же правилам, что и для удаления целых чисел. Таким образом, вам не придется обращать внимание на стороны.
— Если ответ получен, партии должны быть размещены строго под партией исходного номера.
Действие с десятичными цифрами выполняется по тем же правилам и тому же алгоритму, которые описаны выше для процесса удаления.
Примеры сложения и вычитания десятичных дробей
Математические действия по сложению и удалению десятичных цифр на самом деле очень распространены и имеют отношение ко многим проблемам в окружающем нас материальном мире. Примеры таких расчетов приведены ниже.
Согласно проектным расчетам, для строительства небольшой промышленной установки требуется 5 кубических метров бетона. Используя новейшую технологию производства, подрядчик смог использовать всего 9 кубических метров бетона для всех работ без снижения качества здания. Экономия выглядит следующим образом.
Шесть десятых девяти кубических метров бетона равны нулю партий, за исключением пяти партий из девяти партий девяти.
Двигатели старших моделей потребляют 8 литров и 2 литра топлива на 100 километров в городском цикле. Для новых силовых агрегатов эти показатели составляют 7 и 5 литров. Экономия выглядит следующим образом.
8 партий 2 литра минус 7 партий 50 партий равно 7 литров ноль партий на 100 километров в городе.
Дополнительные действия и удаление десятичных знаков очень распространены, и их реализация не вызывает проблем. В современной математике эти процессы почти полностью отработаны и хорошо освоены почти всеми с тех пор, как они пошли в школу.
