Решение. Ясно, что для больших n полный член этого ряда сравним с: ~ ~. Значит, рядом сравнения будет обобщённый ряд Дирихле с показателем степени 2:, который сходится, т.к. s = 2 > 1.
Высшая математика. Теория рядов
Методическое пособие предназначено для преподавателей математики в техникумах, а также для студентов всех специальностей второго года обучения.
В данной работе описаны основные понятия теории рядов. Теоретический материал соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации, М., 2002).
Изложение теоретического материала по всему предмету сопровождается большим количеством иллюстраций. примеров Книга написана доступным и, по возможности, строгим языком. В конце учебника вы найдете примеры В конце книги вы также найдете задания для самоконтроля студентов.
Книга предназначена для студентов заочной и очной форм обучения.
Учитывая уровень образования студентов техникума, а также Крайне ограниченное количество часов (12 часов + 4 ф.), отведенных на высшую математику в технических школах, не включает строгие рассуждения, которые очень трудно усвоить, и ограничивается изучением примеров.
решение математически представленной задачи впример, как комбинация различных функций, их производных и интегралов, должен уметь «свести все к числу», которое обычно служит окончательным ответом. Разные отрасли математики разработали различные методы для этого.
Одна из отраслей математики, позволяющая решить любую правильно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.
Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа, казалось бы, не имеют ничего общего с теорией рядов, сразу же. применялОни были немедленно применены в сериях, которые служили для проверки значения этих понятий. Такая ситуация сохраняется и сегодня.
где ;;;;…, — члены ряда; — n-й или общий член ряда, называемый бесконечным рядом (серией).
- числа, то ряд называется числовым;
- числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
- числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
- положительные числа, то ряд называется знакоположительным;
- числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;
- функции, то ряд называется функциональным;
- степени, то ряд называется степенным;
- тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.
1.1 Основные понятия числовых рядов.
Числовой ряд — это сумма вида
где. .,…,…,…,…,…,…,…,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.
Суммы простых членов (1.1) называются частичными суммами этого ряда.
Любой ряд можно сопоставить с последовательностью частичных сумм.
Если при бесконечно возрастающем n частичная сумма ряда стремится к пределу, то ряд называется сходящимся, а число — суммой сходящегося ряда, т.е.
Это обозначение эквивалентно обозначению
Если частичная сумма ряда (1.1) не имеет конечного предела (стремится к или ) при бесконечном увеличении n, то такой серия называется дивергентной.
Если ряд сходится, то для достаточно большого n значение является приближенным выражением суммы ряда S .
Разница называется остатком серии. Если ряд сходится, то остаток стремится к нулю, то есть, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.
Мы можем суммировать строки, а затем сложить их суммы. В целом, нет особых причин предпочитать строки столбцам, но если мы сначала просуммируем столбцы, результат может быть другим. На сайтепример, рассмотрим двойную серию
Сходимость числовых рядов
Одной из основных проблем в этой теме является исследование сходимости ряда. Возможны два случая:
1) Серия расходится. Это означает, что бесконечная сумма бесконечна: либо сумма вообще не существует, как в случае спример, серии (здесь, кстати, и пример серии с отрицательными членами). Хороший пример расходящейся числовой линии можно найти в начале урока: здесь очевидно, что каждый последующий член в линии больше предыдущего, поэтому линия расходится. Еще более тривиально пример: .
2) Ряд сходится. Это означает, что бесконечная сумма равна конечному числу: Пожалуйста: — этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более разумного примера это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, которую мы знаем со школы: Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по следующей формуле: Где — первый член прогрессии и основание прогрессии, которое обычно записывается в виде обыкновенной дроби. В данном случае:, : Это конечное число, поэтому ряд сходится, что и требовалось доказать.
Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не составляет труда. не так-простой, поэтому на практике мы используем специальные доказательства для изучения сходимости рядов.
Существует несколько точек сходимости ряда: необходимая точка сходимости ряда, точки сравнения, точка Далембера, точки Коши, точки Лейбница и некоторые другие точки. применять? Это зависит от общего представления о сериале, метафорически говоря, от «начинки» сериала. И очень скоро мы все уладим.
! Чтобы продолжить изучение урока, вам необходимо хорошее понимание, что такое чтобы иметь возможность разрешить предел и неопределенность в отношении вида. Для ознакомления или изучения материала, пожалуйста, прочитайте статью Границы. Примеры решений .
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его суммарный член стремится к нулю:.
Обратное, как правило, не верно, т.е. если, то ряды могут оба сходиться, так они также могут быть несхожими. Поэтому он используется для обоснования следующих положений Дивергенция серии:
Если общий срок серии не стремится к нулюто серия является расходящейся.
Или, короче говоря, если, то серия является дивергентной. В частности, возможно, что предел вообще не существует, как в случае спример, предел. Таким образом, мы сразу установили расхождение ряда 🙂
Чаще, однако, предел расходящегося ряда бесконечен, «динамическая» переменная заменяется на. Давайте освежим наши знания: Предельные значения с «x» называются предельными значениями функций, а предельные значения с переменной «en» — предельными значениями последовательностей чисел. Очевидное отличие состоит в том, что переменная «en» принимает дискретные (прерывные) физические значения: 1, 2, 3 и так далее. Однако этот факт мало влияет на методы решения методы предельных значений и методы определения неопределенности.
Мы хотим доказать, что ряд из первого примера расходится. Общий срок серии:
Заключение: серия расходится, так потому что не выполняется необходимый критерий сходимости ряда.
Необходимым знаком часто является применяеОн часто используется в реальных практических задачах:
Проверьте серии на сходимость
Посмотрите серию для набора вопросов. Те, кто внимательно прочитал и понял метод обнаружения неопределенности в статье, придут к ограничениям. Примеры решений вероятно, понял, что если высшие силы числителя и знаменателя равнытогда предел равен является конечным числом .
разделить числитель и знаменатель на
Эта серия расходится, так потому что не выполняется необходимый критерий сходимости ряда.
Проверьте серии на сходимость
Это пример для независимых решения. Полное решение и найти ответ в конце урока.
Итак, Если дан любой ряд чисел, то сначала нужно проверить (мысленно или с помощью рисунка): стремится ли его общий член к нулю? Если нет, мы создаем решение по образцу примеров №№ 6, 7 и дать ответ, что ряд является расходящимся.
Какие, казалось бы, расходящиеся серии мы рассмотрели? Сразу же очевидно, что расходящиеся ряды, такие как или, также существуют расходящиеся ряды из примеров №№ 6, 7: когда в числителе и знаменателе стоят многочлены, и высшая степень числителя больше или равна высшей степени знаменателя. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров используем необходимый признак сходимости ряда.
Почему его называют необходимым знаком? Это вполне естественно для понимания: Чтобы ряд сходился, суммарный член ряда должен стремиться к нулю. Это было бы хорошо, но этого недостаточно. Другими словами: Если суммарный член стремится к нулю, это не означает, что ряд сходится, так и расходиться!
Этот ряд называется гармоническим рядом. Помните. Среди числовых рядов есть…. прима-балерина. Точнее, балерину).
Это легко понять, НО. В теории математического анализа было доказано, что гармонический ряд отклоняется.
Вам также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:
Признаки сравнения для положительных числовых рядов
Я хотел бы отметить, что мы имеем дело только с положительными числовыми рядами (в неотрицательных терминах).
Есть две точки сравнения, одну я буду называть просто точкой сравнения, другую — предельной точкой сравнения.
Сначала рассмотрим точку сравнения, точнее, ее первую часть:
Если известно, что ряд — сходится, и если, начиная с какого-то числа, неравенство верно, то ряд также сходится.
Другими словами, совпадение серий с большими терминами подразумевает совпадение серий с меньшими терминами. На практике неравенство часто справедливо для всех значений :
Проверьте серии на сходимость
Сначала мы проверяем (мысленно или графически), выполнен ли необходимый критерий сходимости: таким образом, мы потерпели неудачу «без особых усилий».
Предупреждение. Далее такая проверка будет неявной по умолчанию, и я не буду останавливаться, чтобы сделать это после!
Мы рассматриваем «стек» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на высшую степень, находим аналогичный ряд: из теории известно, что он сходится.
Очевидное неравенство справедливо для всех натуральных чисел:
а наибольшие знаменатели соответствуют меньшим дробям: Это означает, что исследуемый ряд сходится с рядом по принципу сравнения.
В случае сомнения, неравенство всегда можно описать подробно! Опишем построенное неравенство для различных чисел в «en»: if, then If, then If, then If, then If, then If, then If, then …. и теперь совершенно ясно, что неравенство выполняется для всех натуральных чисел в «en».
Давайте проанализируем символ сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все -таки, Почему серия сходится? Вот почему. Если ряд сходится, то он имеет конечную сумму: поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов, то ясно, что сумма ряда не может быть больше, и, более того, она не может быть бесконечной!
Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов:, ,, ,, ,, и т.д.
! Обратите внимание, что знаменатели во всех случаях плюсовые. Наличие хотя бы одного отрицательного знака может существенно осложнить использование рассматриваемой сравнительной характеристики. На сайтепример, если ряд таким Если сравнить условие с порядком сходимости (написать неравенства для первых членов), то условие вообще не будет выполняться! Здесь можно выбрать для сравнения другой сходящийся ряд, спример, Однако это повлечет за собой дополнительные предупреждения и другие ненужные трудности. Поэтому гораздо проще использовать критерий сравнения порогов для доказательства сходимости ряда (см. следующий раздел).
Проверьте серии на сходимость
И в этом примере Я предлагаю вам рассмотреть вторую часть сравнения порогов:
Если известно, что ряд — расходится, и если, начиная с некоторого числа (чаще первого), выполняется неравенство, то ряд также расходится.
Другими словами, дивергенция ряда с меньшим количеством членов подразумевает дивергенцию ряда с большим количеством членов.
Почему для сравнения была выбрана именно эта серия? Если бы мы выбрали другой ряд из «кластера» обобщенных гармонических рядов, то в пределе не получили бы ненулевого конечного числа (можете поэкспериментировать).
Расходящиеся ряды.
Бесконечный ряд, который не сходится, называется расходящимся (такой ряд называется расходящимся рядом). На сайтепример, ряд
расходится, так поскольку его частичные суммы равны 1/2, 1, 1 1 /.2(2) Частичные суммы не стремятся к числу как пределу, потому что если мы возьмем много членов, то сможем сделать частичную сумму сколь угодно большой. Серия
также является расходящимся, так как его частичные суммы попеременно становятся то 1, то 0 и не стремятся к пределу.
Суммирование.
Хотя теоретически возможно найти сумму сходящегося ряда (с определенной точностью) путем последовательного суммирования его членов, на практике это затруднительно. На сайтепример, ряд
сходится, и их сумма с точностью до десяти десятичных знаков равна 1,6449340668, но чтобы вычислить ее с такой точностью, нам потребуется около 20 миллиардов членов. Такие серии обычно суммируются путем их предварительного преобразования с помощью различных методов. Для этого используются алгебраические или вычислительные методы.пример, Можно показать, что сумма ряда (8) равна p 2 /6.
Обозначения.
При работе с бесконечными рядами полезно иметь удобную нотацию. На сайтепример, конечная сумма ряда (8) может быть записана следующим образом.
Это обозначение подразумевает, что n принимается равным 1, 2, 3, 4 и 5 в серии, а результаты суммируются:
Аналогично, ряд (4) можно записать следующим образом.
где символ Ґ означает, что это бесконечный ряд, а не конечная часть. Символ S (сигма) называется символом суммы.
В принципе, полученное выражение может быть $\sum\limits_^<\infty>\frac\cdot (t+3)>$ можно так и оставить его там. Однако, как правило, новая буква $t$ не вводится, а продолжает использоваться «старый» индексный символ, а именно $n$. Изменится ли что-нибудь, если заменить одну букву на другую?
Числовой ряд
Числовая последовательность — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, называемой последовательностью частичных сумм (серией).
Рассматриваются два типа числовых рядов
- вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
- комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;
Наиболее важным вопросом при исследовании числовых рядов является сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяюЧисловой ряд можно использовать как систему аппроксимации чисел.
Содержание
Пусть ^<\infty>» width=»» height=»» /> — последовательность чисел; вместе с данной последовательностью рассмотрим последовательность
^<\infty>,» width=»» height=»» />
элементы которого являются суммой некоторых элементов исходной последовательности. В простейшем случае обычные частичные суммы имеют вид
a_i.» width=»» height=»» />
В целом, символ
a_i,» width=»» height=»» />
представляется как исходная последовательность элементов серии, а также правило суммирования.
Таким образом, речь идет о сходимости числовых рядов:
- числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
- числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:
- числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если арифметический ряд сходится, то предел суммы ряда равен :
a_i,» width=»» height=»» />
Критерий абсолютной сходимости
Серия и
Доказательство. Если сходимость задана и
Фонд Викимедиа. 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Числовой ряд» в других словарях:
Ряд — а. (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряд и в ряд, м. Ряды, м. 1. Ряд однородных предметов, расположенных в ряд один за другим. Равномерный ряд зубов. Светлый ряд окон. Посадка репы в ряды…. … Энциклопедический словарь
СЕРИИ (в математике) — СЕРИЯ, бесконечный ряд, выражениями которого являются a1, a2. a. Числа (арифметический ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частичная сумма): sn= a1+ a2+. + an с бесконечно возрастающим n стремится к …. стремится. …. Энциклопедический словарь
ANN. является бесконечным рядом, выражения которого a1, a2. an. Числа (арифметический ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частичная сумма): Sn= a1+ a2+. + ан с п против определенного … …. Энциклопедия энциклопедических …
Последовательность — это последовательность элементов (или чисел), соединенных символами сложения, вычитания или сложения и вычитания (набор символов). Каждый элемент является членом серии. Различают Р.: числовые, динамические, тригонометрические, функциональные и т.д. …….. Большая техническая энциклопедия
РЯД — бинарный кластер м., последовательность элементов (называемых членами п. р.) линейного топологического пространства и некоторое бесконечное множество их конечных сумм (называемых п. т. м. кластер м. р. ….. Энциклопедия Mathematica.
Ряд Фурье — Сложение членов ряда Фурье … Википедия
Арифметический луч — Арифметический луч — это луч, на котором натуральные числа обозначены точками. Расстояние между точками равно условной единице (части единицы). Каждой точке присваивается номер, начиная с 1. Начало радиуса… … Википедия.
Серия (математика) — Серия, бесконечная сумма, изпример вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче говоря,. (1) Один из самых простых примеров Р., уже встречающийся в элементарной математике, является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +. + q………
серия — I бесконечная сумма, впример вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче говоря, один из самых простых примеров Р., который уже встречается в элементарной математике, является суммой бесконечно убывающей … … Большая советская энциклопедия
Ряд Фурье — представление ряда Фурье любой функции f периода τ в виде серии Этот ряд может быть также переформулируется как. где Ак — амплитуда k-го гармонического колебания (функция cos), lap …. Википедия
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится, то такой ряд называется условно (не абсолютно) сходящимся.
Учитывая ряд чисел
Сумма $S_n=u_1+u_2+u_dots+u_n$ первых $n$ членов является n-ой частичной суммой ряда (1). В краткой форме: $S_n=\sum\limits_^u_k$.
Например, Сумма первых пяти членов ряда (1) является пятой частичной суммой ряда, т.е. $S_5$:
Ряд $r_n=u_+u_+u_+u_+_ldots$, полученный из ряда (1) путем отбрасывания первых $n$ членов ряда, называется n-м остатком ряда (1). Короче говоря, $r_n=\sum\limits_^<\infty>u_k$.
Например, Если мы отбросим первые три члена ряда (1), то получим третий остаток $r_3$:
Теперь перейдем к понятию суммы серий. Пусть $S_n$ — это n-ая частичная сумма ряда (1).
Если существует конечный предел $S=\lim_.
Вычисление суммы ряда чисел рассматривается в соответствующей теме.
Дана серия $\sum\limits_^<\infty>\frac$. Напишите первую, вторую, третью и четвертую частичные суммы. Напишите первый, второй и третий остатки.
Нижняя граница суммы равна 1, поэтому существует общий член под знаком суммы: $u_n=\frac$.
Первая частичная сумма $S_1$ равна первому члену:
Вторая частичная сумма $S_2$ — это сумма первых двух членов ряда:
Третья частичная сумма $S_3$ — это сумма первых трех членов ряда:
Четвертая частичная сумма $S_4$ — это сумма первых четырех членов ряда:
Конечно, каждая частичная сумма может быть вычислена простым сложением элементов. На сайтепример, $S_2=\frac+\frac=\frac$.
Теперь обратимся к остаткам. Если отбросить первый член, то получится первый остаток серии:
Если отбросить первые два члена, то получится второй остаток серии:
Если отбросить первые три члена, то получится третий остаток:
В принципе, при желании остатки можно записать в компактной форме:
- Частичные суммы: $S_1=\frac$, $S_2=\frac+\frac$, $S_3=\frac+\frac+\frac$, $S_4=\frac+\frac+\frac+\frac$.
- Остатки: $r_1=\frac+\frac+\frac+\frac+\ldots$, $r_2=\frac+\frac+\frac+\ldots$, $r_3=\frac+\frac+\ldots$.
Некоторые свойства числовых рядов
- Ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится тогда и только тогда, когда один из остатков $r_n=\sum\limits_^<\infty>u_k$. Отсюда следует, что отбрасывание или добавление к некоторому ряду конечного количества членов не изменяет сходимости ряда.
- Если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится и его сумма равна $S$, то каждый из остатков $r_n$ стремится к нулю при $n\to\infty$, т.е. $\lim_
- Если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ расходится и $C<\infty>Cu_n$ также расходится.
- Если ряд $\sum\limits_^<\infty>eq 0$, тогда ряд $\sum\limits_^<\infty>Cu_n$ также сходится и сумма его равна $CS$ ($C$ – некоторая константа).
- Если ряды $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится и его сумма равна $S$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ и $\sum\лимиты_^<\infty>v_n$ сходятся и их суммы равны $S_1$ и $S_2$ соответственно, то ряд $\sum\limits_^ есть также сходится и сумма его равна $S_1\pm S_2$.
- Необходимое условие (признак) сходимости ряда: если ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(u_n\pm v_n
- Достаточное условие (признак) расходимости ряда: если $\lim_
u_n$ сходится, тогда $\lim_
u_nпример, eq 0$, тогда $\sum\limits_^пример, Заметили ли вы ошибку, опечатку или неправильную формулу? Пожалуйста, напишите об этом в этой теме форума (регистрация не требуется).пример, 1) Данная строка отличается в. в. в .
Сумма числового ряда
,, , ,. 2) Этот ряд имеет сходимость при. при .
Еще раз подчеркну, что почти во всех практических задачах совершенно неважно, что является суммой .
это факт сходимости .
При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определенный числовой результат, но ни человек, ни компьютер не могут вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, потому что процесс сложения членов арифметического ряда (по определению) никогда не заканчивается.
Это означает, что выражение (1) является формальным, так как сумма бесконечного числа членов неопределенна. Однако это выражение имеет знак суммы и подразумевает, что члены ряда каким-то образом складываются. Сумма любого конечного числа членов получается при их поочередном сложении. Это наводит на мысль присвоить числовому ряду номер и назвать сумму числового ряда. Для этого вводится понятие частичной суммы ряда.
Приблизительные суммы ряда чисел (1)
Понятие сходимости числовых рядов
называются частичными суммами арифметического ряда.
Сумма первых n членов арифметического ряда называется n-й частичной суммой:
Частичные суммы ряда чисел имеют конечное число слагаемых, являются «обычными» суммами и могут быть найдены и измерены. Для числового ряда мы имеем бесконечную последовательность частичных сумм. такое равенство:
Если значения частичных сумм с бесконечно возрастающим n, т.е. если они стремятся к числу S, т.е. если они имеют предельное значение
то ряд чисел называется сходящимся.пример, для ряда
Это число S называется суммой ряда чисел. В этом смысле мы можем написать
Пример конгруэнтного числового ряда:
Для любого числового ряда последовательность его частичных сумм не стремится к определенному пределу. В
частичные суммы имеют попеременно значения 1 и 0:
Если предел последовательности частичных сумм ряда не существует, то арифметический ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд не имеет суммы.
Пример 5: Определение частичной суммы ряда чисел также должны быть равны:
путем разложения общего члена на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов и нахождения суммы ряда.
Решение. Разложите общий член на дроби:
Так как дроби равны и знаменатели равны, то числители.
Это равенство справедливо для всех n :
Частичная сумма серии:
Пример 6: Исследуйте сходимость арифметического ряда (2) .
Решение. Составим частичные суммы ряда:
Выразите их как
Последовательность частичных сумм легко увидеть: Каждая частичная сумма является разностью между 1 и дробью с числителем 1, а знаменатель n частичных сумм равен n + 1, то есть.
Найдите предел последовательности частичных сумм: так Следовательно, арифметический ряд (2) сходится, его последовательность равна 1.
Исследуем сходимость арифметического ряда (3):
Что называется геометрическим,
поскольку его члены являются членами геометрической прогрессии, прима которой равна a, а знаменатель — q.
Рассмотрим частичную сумму этой серии:
Она равна сумме членов геометрической прогрессии, если.
Найдите предел последовательности частичных сумм геометрической прогрессии. Вы должны различать четыре возможности:
1. если, то, то, так
(2) Если они не существуют, то последовательность частичных сумм не имеет предела.
(3) Если q = 1, то последовательность a + a + a + a + a +. +. . n-я частичная сумма
и т.д. Но такая в зависимости от знака a .
(4) Если q = — 1, то получается ряд
Его частичные суммы попеременно равны a и 0:
последовательность не имеет предела.
Мы выяснили, что геометрический ряд (3) сходится, когда знаменатель меньше единицы:
и его сумма составляет
и разрешается, когда оно больше или равно единице:
Пример 7. Исследуйте сходимость числовых рядов:
Решение. Это геометрические серии. Для серии (*)
для серии (***) q = 4/3; для серии (****) q = — 1. Таким образом, первые две серии сходятся, а последние две расходятся.
Установить сходимость ряда самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Определите сходимость числового ряда.
Свойства сходящихся числовых рядов
Если ответ «Да», найдите сумму этой серии чисел.
Решение. Этот ряд является геометрическим рядом с первым членом и Поскольку ряд сходится. Найдите сумму ряда, используя формулу для суммы геометрического ряда.
Пример 9. выяснить,. также Учитывая ряд с общим членом, ряд с общим членом, т.е.
называется произведением ряда (1) на c. Колинеарность ряда (1) гарантирует, что произведение (1) сходится к c. Это доказывается следующей теоремой.
Теорема 1: Если (1) сходится и имеет сумму, равную S, то его произведение на c
сходится и имеет сумму, равную S:
Поэтому общий коэффициент членов сходящегося ряда можно вынести за скобки с учетом выполнения равенства (12).
Пусть даны два ряда с общими терминами и :
Затем серии с общим членом
называется суммой этих серий:
Теорема 2: Сумма двух сходящихся рядов является сходящимся рядом и их сумма равна
где S ‘ и S ‘ ‘ — суммы слагаемых ряда:
Это означает, что сходящиеся ряды можно складывать и вычитать по Теореме 1, но равенство (16) выполняется для суммы ряда, а для разности ряда выполняется равенство
Определение. Разность между суммой S и частичной суммой S n сходящегося ряда чисел называется остатком ряда и обозначается R n : ряд также сходится.
Для сходящегося ряда
т.е. предел остатка сходящегося ряда равен нулю. таким Теорема 3: Если ряд сходится, то каждый остаток ряда сходится; и наоборот, если каждый остаток ряда сходится, то так Это означает, что на сходимость ряда не влияет конечное число его первых членов. Любое конечное число терминов может быть удалено или добавлено в серию. Это не влияет на сходимость (или расходимость) ряда, но влияет на сумму ряда.
Если сходимость ряда найдена на основе определения сходимости, то найдена его сумма. Именно так мы и поступили, когда исследовали сходимость рядов (2) и (3). Однако,
Часто бывает трудно определить сходимость ряда, используя этот метод. По этой причине для определения того, является ли ряд сходящимся или расходящимся, используется другой метод,
Всегда можно найти сумму всех максимальных чисел сходящихся рядов, вычислив в точности сумму числа их простых членов. ряд также сходится и .
Пример 10. Нахождение суммы ряда чисел
Решение. Из теорем 1 и 2 о свойствах сходящихся рядов
Радикальный признак Коши
Если ряды и и и сходятся и, то для произвольных действительных чисел a и b< 1, то ряд сходится, если l >Теперь продемонстрируем сходимость ряда.
Два степенного ряда можно складывать и умножать в соответствии с правилами сложения и умножения многочленов. Интервал сходимости нового ряда совпадает с общей частью интервала сходимости исходного ряда.
Предположим, что дан ряд и что существует предел. Если l
Интегральный признак Коши
1, то ряд сходится; если l = 1, то этот тест не решает проблему (требуется дальнейшее исследование). такая, Пример. Проверка сходимости рядов
Решение. Общее понятие серии таково. Вычислите предел. Это означает, что ряд сходится.
Предположим, что существует непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция в интервале x Î
что, n = 1, 2, 3…. Тогда ряд и некогерентный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Обратите внимание, что если мы рассматриваем серию, то функция находится в интервале.
Напомним, что приведенный выше несводимый интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел, и тогда =. Если конечного предела не существует, то говорят, что несводимый интеграл расходится.
Вывод . Обобщенный гармонический ряд сходится, если s > Пример. Рассмотрим ряд, обобщенный гармонический ряд или ряд Дирихле с экспонентой s. Если s = 1, то этот ряд называется гармоническим рядом.
Мы исследуем этот ряд, используя знак интеграла Коши: =, а функция = обладает всеми свойствами, указанными в знаке. Мы вычисляем несамостоятельный интеграл от .
Есть три возможных случая:
1, и она расходится, если s ≤ 1.~ =, значит, данный ряд сравниваем с рядом, который сходится, как ряд Дирихле с показателем степени s = 2 > 1.
Пример. Проверьте сходимость ряда.
Решение. Для этой серии
Рекомендации по использованию признаков сходимости
1.
Вы находите предел отношения общих членов этого ряда к ряду Дирихле с критерием сравнения в предельной форме:
Признаки сравнения применяюСледовательно, этот ряд также сходится.
Сначала мы должны получить необходимый критерий совпадения и вычислить предел общего члена ряда в. Если, то ряд явно расходится, а если, то мы должны использовать одно из достаточных доказательств.
Решение. Ясно, что для больших n полный член этого ряда сравним с: ~ ~. Значит, рядом сравнения будет обобщённый ряд Дирихле с показателем степени 2:, который сходится, т.к. s = 2 > 1.
Пример 1. Проверка сходимости ряда:
Решение. Ясно, что при большом n общий член этого ряда сравним с:
1.
Это означает, что данный ряд также сходится.
Пример 2: Рассмотрим сходимость ряда. применятПоскольку ряд с большими членами сходится, то и этот ряд сходится.
Рисунок 2. Графики функций x и sin x
Удобно использовать признаки Далембера
Если она содержит экспоненциальную функцию, факториал n ! или обе функции.
Пример 3: Рассмотрим сходимость ряда. применят Решение. Поскольку n ! содержит n, удобно использовать знак Далембера. Общий член ряда равен, и поэтому. Предельное соотношение этих терминов равно
из : Если предел больше единицы, то ряд является расходящимся.
Из этого следует радикальный признак Коши. применитЕсли все члены ряда имеют вид.
Пример 4. Проверьте сходимость ряда.
Решение. Здесь общий член ряда =, и удобно. применяюЗнак Коши. Рассчитайте предел:
Следовательно, этот ряд сходится.
Интегральный признак Коши
t, если подстановка дает функцию, интеграл которой очень легко вычислить.
Пример 5: Исследуйте сходимость ряда.
Решение Используем знак интеграла и возьмем в качестве функции =, которая положительна, непрерывна, убывает на интервале и монотонна.
Вычислим неавтономный интеграл:
