Если стороны одного треугольника равны 8 см, 10 см и 6 см, а стороны другого треугольника равны 12 см, 15 см и 9 см, найдите отношение площадей этих двух треугольников.
Подобные треугольники
Подобные треугольники — это треугольники, углы которых равны между собой, а одна сторона пропорциональна другой.
Коэффициентом подобия является k, который равен отношению сходных сторон подобных треугольников.
Стороны (или сопряженные стороны) подобных треугольников являются противоположными сторонами равных углов.
Признаки подобия треугольников
I Принцип подобия треугольников
Если два угла треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники одинаковы.
II Принцип подобия треугольников
Если две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные в этих сторонах, равны, то эти треугольники одинаковы.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники одинаковы.
Свойства подобных треугольников
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
1. линия, параллельная одной стороне треугольника, пересекает подобный ей треугольник.
2. треугольники, образованные отрезком диагонали и основанием трапеции, подобны. Степень сходства
3. в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два треугольника, подобных исходному треугольнику.
Здесь вы найдете подборку задач, похожих на «Подобные треугольники».
Работа. Прямая, параллельная AB в BCABC, пересекает BC и AC в точках E и P. Найдем, что EC = 2, BE = 3 и EP = 3,2. Какова длина отрезка AB?
Подобие
Идентичные треугольники — это треугольники, у которых длины всех сторон пропорциональны друг другу, а углы равны. Отношение соответствующих сторон подобных треугольников всегда равно одному и тому же числу, которое называется коэффициентом подобия.
Рисунок 1. Подобные треугольники
Коэффициенты подобия часто используются для решения задач на подобие треугольников, так как коэффициенты можно найти из оснований после того, как неизвестные стороны представлены известными сторонами. Сходство представлено буквой k.
Не обязательно концентрироваться на треугольниках. Все фигуры в геометрии имеют сходство, хотя символ сходства появляется только на них. То же самое справедливо и для эквивалентности формы. Все фигуры в геометрии эквивалентны, так как эквивалентность является частным случаем сходства с коэффициентом k=1.
Рисунок 2.Похожие элементы
Признаки подобия
В настоящее время для любого треугольника существует три варианта подобия.
- По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- По сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
- По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Чтобы доказать пропорциональность сторон, необходимо вычислить отношение длин каждой стороны. Тот же результат применим и к аналоговой стороне.
Аналоговые треугольники также имеют аналоговые треугольники и все характерные части, такие как высоты, медианы и биссектрисы. Коэффициенты сходства одинаковы для всех сегментов треугольника. Этот факт необходимо помнить. Это важно для решения многих задач и извлечения формул, поскольку существуют площади подобных треугольников.
Площади подобных треугольников
Рассмотрим два одинаковых треугольника ABC и $A_1B_1C_1$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты.
$ S =.<1\over<2>> h * AB $, тогда площадь второго треугольника:.
Деление одной поверхности на вторую поверхность дает следующее соотношение.
$
$
Проведите перпендикуляр к вертикальному прямоугольному треугольнику (рис. 166, а). Сделайте из него квадрат со сторонами квадрата. Итак: ^
Работа по теме урока
(Учитель делит класс на группы для решения творческой работы. По завершении задаются и обсуждаются решения).
Работа. Треугольники ABC и A1B1C1 подобны коэффициенту K. Найдите причину в их районе.
Заключение Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Закрепление изученного материала
- Работа в рабочих тетрадях. Решить задачу № 54. (Учащиеся самостоятельно решают задачу, по окончании работы один ученик вслух читает задачу и ее решение. Учащиеся его слушают, а затем исправляют ошибки.)
- Решить задачу № 545 (работа в парах). (После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)
Вопрос нет. 545
- Чему равно отношение площадей подобных треугольников, если их сходственные стороны относятся как 6 : 5?
- Верно ли составлено уравнение исходя из условий задачи?
- Решить задачи № 547, 548 (работа в группах). (После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)
Самостоятельная работа
I уровень сложности
II уровень сложности
III уровень сложности
Научитесь правильно писать задачи, делайте записи короткими и не тратьте время на то, чтобы написать все идеи и названия теорий.
Самый главный «секрет» подобия треугольников
Плита научила вас находить подобные треугольники, но как теперь использовать те, которые вы нашли?
А что бы вы хотели с ним сделать? Что же тогда …
Все элементы одного треугольника ровно в ዄ (⌘ displaystyle 2 \) (или во столько раз, во сколько получится) больше элементов других треугольников.
Не только стороны, но и высоты, дихотомии, интерстиции, зарегистрированные, граничные лучи цикла и т.д.
Есть важное исключение: площадь.
Открыть ответы…
Чтобы открыть все выпуски всех учебников, охваченных синим баннером (например, этот), зарегистрируйтесь следующим образом.
Чтобы управлять им, просто разделите длину сторон между ними. Разделите наибольшую сторону одного треугольника на другую и наименьшую сторону на наименьшую. Если результат одинаков для всех трех сторон, то треугольники подобны.
Второй и третий признаки подобия треугольников
Существуют еще два подобия треугольника, которые реже используются при решении задач. Идите прямо от первого участка.
Докажите второе сходство. Пусть DABC и DA1В1Больше.1, мы удовлетворяем соотношению:.
Докажите, что они похожи. Для этого мы построим еще один DABC2которая имеет общие аспекты с DABC.2 Выберите точку C так, чтобы условие было выполнено.
DM1В1Больше.1 Затем слегка постучите.2 Поскольку два угла одинаковы, они подобны. Поэтому необходимо применить следующие уравнения
Но потом ДАБК и ДАБК2 равны, так как углы, образованные двумя сторонами и двумя сторонами, одинаковы.
В результате, DB и DA1В1Больше.1 имеют два одинаковых угла, т.е. похожи друг на друга
Выпуск. На стороне угла отмечены точки a и b, так что ab = 5 см и ag = 16 см. На другой стороне того же угла отмечены точки c и d, такие, что AD = 8 см и AF = 10 см. Похожи ли ΔACD и D AFB?
Рассмотренные треугольники имеют общий угол.
Отношения одинаковы, поэтому треугольники симметричны.
ПРИМЕЧАНИЯ. В этом случае важно понять, какую сторону нужно разделить. У DGD стороны AC и AD равны 16 и 8 см. У DAFB стороны AF и AB равны 10 и 5 см. Наибольшая сторона одного треугольника делится на наибольшую сторону другого треугольника, т.е. 16 x 10, или 8 на 8. Сходство и взятое число — это просто коэффициент сходства.
Рассмотрим третье свойство подобия треугольников.
Давайте докажем это. Пусть DABC и DA1В1Больше.1 Это соизмеримо с их сторонами:.
Мы видим, что DABC2 И да1В1Больше.1 Они похожи, потому что два угла одинаковы. Тогда пропорции верны:.
Отношение площадей подобных треугольников
Если треугольники подобны, то их стороны зависят от коэффициента K. Здесь K — коэффициент. И как соотносятся между собой их высоты, промежуточные и другие характерные длины? Легко предположить, что они также зависят от коэффициента K.
Докажем это на примере высоты. Предположим, что у нас есть аналогичные DABC и DA1В1Больше.1и их коэффициент сходства равен k.
ch и c, которые построены на этих высотах1н1:.
Аналогично, мы можем доказать, что длины и расщепления промежуточных продуктов отличаются по времени k.
В чем причина одинаковой площади треугольника? Получается, что дважды по k. Докажите это.
Пусть DABC и DA1В1Больше.1 аналогично коэффициенту сходства k. Снова постройте высоты Ch и Ch1:.
Запишите очевидное уравнение: .
В результате площади одного и того же треугольника могут отличаться на коэффициент k 2.
Задание. Площадь DABC равна 10, и мы знаем, что отрезок AB равен 5. Сторона DE, которая подобна AB, равна 15. чтобы вычислить площадь DEF, DEF DB подобна DAB.
Решение. Согласно описанию проблемы, мы находим сходство между DABC и DDEF следующим образом
Задание. Два подобных треугольника имеют площади 75 м 2 и 300 м 2. Одна сторона второго треугольника равна 9 м. Вычислите одинаковую сторону первого треугольника.
Решение. Если известны площади треугольников, то коэффициент подобия легко найти.
Если коэффициент подобия равен 2, то сторона первого треугольника меньше стороны второго.
Коэффициенты подобия часто используются для решения задач на подобие треугольников, так как коэффициенты можно найти из оснований после того, как неизвестные стороны представлены известными сторонами. Сходство представлено буквой k.
Как найти отношение площадей двух треугольников, если стороны одного равны 5 см, 8 см, 12 см, а стороны другого 15 см, 24 см, 36 см?
Как найти отношение двух треугольников, если одна сторона равна 5 см, 8 см или 12 см, а другая сторона равна 15 см, 24 см или 36 см.
Треугольники, приведенные в задаче, подобны. Это объясняется тем, что их стороны соизмеримы.
Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника подобны другой стороне.
Площадь подобных треугольников равна квадрату их подобия.
Площадь этих треугольников объясняется следующими причинами.
Найдите отношение двух треугольников, если одна сторона равна 5 см, 8 см или 12 см, а другая сторона равна 15 см, 24 см или 36 см.
Если стороны одного треугольника равны 8 см, 10 см и 6 см, а стороны другого треугольника равны 12 см, 15 см и 9 см, найдите отношение площадей этих двух треугольников.
Если стороны одного треугольника равны 12 см и 21 см 27 см, а другого треугольника — 4 см 7 см и 9 см, найдите причину возникновения двух треугольников.
На этой странице вы найдете ответ на вопрос, как найти отношение двух треугольников, если одна сторона равна 5 см, 8 см и 12 см, а другая 15 см, 24 см, 36 см и 36 см. Он относится к категории геометрии. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учащихся в классе5-9.Для получения дополнительной информации воспользуйтесь поисковой системой, чтобы найти другие вопросы, связанные с этим. Кроме того, нажмите на кнопку в верхней части страницы и задайте новый вопрос, используя ключевые слова, соответствующие критериям. Поговорите с посетителями вашей страницы и обсудите эту тему. Возможно, их ответы помогут вам найти информацию, которую вы ищете.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Предположим, что отрезки AC и BD пересекаются в точке o треугольника. Первое начало согласно треугольнику aob = sod (угол aob, угол SOD перпендикулярны, bo = od, ao = os, где o — середина ac и ua) треугольник abc = треугольник SOD (ac) является общим …
AC = 16 + 2 = 18 (см) BC = 18-8 = 10 (см) P = 16 + 18 + 10 = 44 (см) Ответ: 44 см.
Да, потому что это проекция и поэтому может иметь отображение.
AC = AD + DC = 6 + 8 = 14.Построим график CH, который является высотой ABC. Это также высота треугольника ABD. Sabc = 1/2 AC-BHBH = 2Sabc / AC = 2-42/14 = 6Sabd = 1/2 AB-BH = 1/2-6-6 = 18Sq.
Решение. Эта диаграмма показывает, что ∠BCA = CESCE и ∠A = ∠E = 90°. Это означает, что BCABC и CESCE похожи, потому что у них два одинаковых угла. Стороны AB и EC похожи, используйте их для нахождения коэффициентов подобия.
Применение площадей
Теорема (Соотношение площадей подобных треугольников).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Предположим, мы докажем, что с этим коэффициентом.
Проведем в данных треугольниках высоты
Прямоугольные треугольники Это означает, что
Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник с площадью 8
Давайте сделаем сторону, параллельную
Треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причем Тогда по доказанной теореме откуда Ответ:
Метод площадей
Понятие площади и формула для ее вычисления также могут быть применены к задачам, в которых условия не относятся к площадям. Рассмотрим такой пример.
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Высота прямоугольника, начерченного по самой длинной стороне, равна 3 см. Найдите высоту меньшего из них.
Предположим, что вам дан прямоугольник со сторонами, высоты которых нарисованы, а длины нужно найти (рис. 163).
Используйте формулу для площади прямоугольника
Итак.
Для решения этой задачи площадь прямоугольника вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь полигона определялась однозначно, независимо от метода расчета, полученное уравнение было уравнено, чтобы соотнести известные значения с требуемыми. Этот метод, использующий площадь в качестве вспомогательного размера, называется методом вспомогательной площади или просто методом площади.
Отметим, что для прямоугольного типа площади следует сделать важный вывод: в прямоугольниках высота, нарисованная на малой стороне, больше, а высота, нарисованная на большой стороне, меньше.
Метод сайта используется как для вычислительных задач, так и для доказательств утверждений.
Сумма расстояний от внутренних точек равностороннего треугольника до его сторон равна высоте треугольника, независимо от выбора точек. Доказательство.
Пусть точка находится на расстоянии одной стороны от этой точки до стороны треугольника (рис. 164).
Точка соединения равна сумме площадей треугольника и возвышения. У нас есть:.
Отсюда т.е. сумма рассматриваемых расстояний равна высоте треугольника и не зависит от выбора точки
Другие доказательства теоремы Пифагора
Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связано с вычислением площадей. Таким образом, классическая формулировка этой теоремы относится не к квадратам сторон прямоугольного треугольника, а к площади соответствующей фигуры.
- площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
Рисунок 165, на котором наглядно представлена эта формулировка, стал отличительным символом геометрии и был назван школьниками прошлого века «пифагорейскими брюками».
Ученики на всю жизнь запомнили забавные стихи о пифагорейских брюках.
Используйте площадь для доказательства теоремы Пифагора.
Проведите перпендикуляр к вертикальному прямоугольному треугольнику (рис. 166, а). Сделайте из него квадрат со сторонами квадрата. Итак: ^
т.е.
На рисунках 166, C и D показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В работе индийского математика XII века Бхаскари, один из них: «Смотрите!». сопровождается только словом «Смотри!». В целом, в настоящее время существует более 150 различных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Однако каждый из вас может изобрести свой собственный метод.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей стороны
Сумма углов многоугольника Сумма углов выпуклости
Сумма внешних углов выпуклой фигуры
Внешние углы выпуклого многоугольника
Если все вершины лежат на окружности, многоугольник регистрируется как окружность.
Полигон описан как зарегистрированный.
Если все стороны принадлежат этому циклу, то многоугольник называется циклом периметра многоугольника.
Аксиомы площади
- Равные многоугольники имеют равные площади.
- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
- Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади
