Медиана треугольника. Что такое медиана в треугольнике?

МЕДИАНА — треугольника Линия (или ее часть в пределах треугольника)Соединение с верхней частью треугольника в середине противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести. треугольника, Центр тяжести, или… … Энциклопедия математики

Медианы треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, идущий от вершины треугольника в центр противоположной стороны. На рисунке 1 AM — медиана треугольника ABC (соединение вершины A с центром стороны BC, т.е. BM = MS ).

Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 2, AM, BC, SD. медианы треугольника ABC. Медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC, точкой M ( BM = MC ), медиана BC соединяет вершину B с центром стороны AC — точкой K ( BC = KS ), медиана CD соединяет C с центром AB — точкой D ( AD = DB ).

Замечательная недвижимость медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Рисунок 2 медианы ABC пересекается с точкой О. Таким образом, точка О делит каждый медиану в соотношении 2 : 1, рассчитанном от вершины, т.е. AO : OM = BO : OC = CO : DO = 2 : 1.

В любом треугольнике Можно определить три момента медианы. Если мы нарисуем их точно, то в каждом треугольнике медианы они пересекаются в одной точке

Свойства

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Треугольник делится тремя медианами в шести равных треугольников.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшему медиана.
  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
  • При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
  • Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
    (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
  • Формула стороны через медианы:

Если две медианы перпендикулярны друг другу, то сумма квадратов сторон, на которые они падают, в пять раз больше квадрата третьей стороны.

Мнемоническое правило

Медианная обезьяна с острым глазом перепрыгивает в точный центр стороны, противоположной вершине, где она теперь стоит.

Фонд Викимедиа. 2010.

Полезное

Смотреть что такое «Медиана треугольника» в других словарях:

Медиана (понятия) — Медиана: Медиана треугольника в планиметрии — отрезок, соединяющий вершину треугольника до середины противоположной стороны в статистике медианой это значение в популяции, которое делит ряд данных пополам Медиана (статистика) … … Википедия

Медиана — Медиана. треугольника В планиметрии отрезок, имеющий вершину треугольника к среднему значению противоположной стороны Медиана (статистическая) квант 0,5 Медиана (кривая) средняя линия кривой, проведенной между правой и левой … Википедия

Медиана (геометрия) — Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединение вершины треугольника с серединой противоположной стороны, а также Строка, содержащая данный раздел. Содержание 1 Свойства 2 Типы … Википедия

CENTER — это линия, соединяющая вершину треугольника до середины основания. Полный словарь иностранных слов, употребляемых в русском языке; Попов М., 1907. медиана (Lat. mediana mediana) 1) геологический разрез, соединяющий вершину. треугольника с. … Словарь иностранных слов в русском языке

Медиана (в геометрии) — Медиана (от лат. mediana median) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника в середине противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в точке, которую иногда называют «центром тяжести». треугольника, так …Большая советская энциклопедия

МЕДИАНА — треугольника Линия (или ее часть в пределах треугольника)Соединение с верхней частью треугольника в середине противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести. треугольника, Центр тяжести, или… … Энциклопедия математики

МЕДИАНА — (от лат. mediana середина) отрезок, соединяющий вершину треугольника До середины противоположной стороны … Большой энциклопедический словарь

МЕДИАНА — MEDIANA, медианы, Женщина. (лат. mediana, буквально — срединный). 1. прямая линия от вершины треугольника к середине противоположной стороны (мат.); 2. в статистике, для набора многих данных, величина, обладающая тем свойством, что количество данных, … … Словарь Ушакова

МЕДИАНА — МЕДИАНА, с., женский род. В математике отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника в середине противоположной стороны. Словарь Ожегова. С. Ожегов, Н. Шведова. 1949 1992 … Словарь Ожегова

MEDIANA (секция) — MEDIANA (от лат. mediana середина), секция, соединяющая вершину. треугольника с серединой противоположной стороны … Энциклопедический словарь

Медиана (геометрия) — Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединение вершины треугольника с серединой противоположной стороны, а также Строка, содержащая данный раздел. Содержание 1 Свойства 2 Типы … Википедия

Медиана треугольника

Определение. Медиана треугольника это отрезок, выходящий из вершины треугольника до середины противоположной стороны (Рисунок 1).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Поскольку в каждом треугольнике Если есть три вершины, то каждая треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является сегментом BD .

Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равна площади ( равна. треугольника).

Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высотой BE (рис. 2),

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

и отметить, что (см. раздел в нашем справочнике по региону. треугольника»)

Поскольку секция BD медианой, то

должны быть доказаны.

Утверждение 2: Пересечение любых двух медиан треугольника разделяет каждого из них медиан в соотношении 2 : 1, рассчитанном от вершины. треугольника.

Доказательство. Рассмотрим любые два медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим их пересечение через O (рис. 3).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Обозначим средние значения сегментов AO и CO через F и G соответственно (рис. 4).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Теперь рассмотрим четырехугольник FEDG (рисунок 5).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Сторона ED этого четырехугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

Сторона FG четырехугольника FEDG является средней линией. в треугольнике AOC. Следовательно,

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Отсюда следует, что точка O каждого из медиан AD и CE в соотношении 2 : 1, вычисленные из вершины треугольника.

Следствие. Все три медианы треугольника которые расположены по адресу .

Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точка O, которая является эту медиану в соотношении 2 : 1, измеряется от вершины A (рис. 7).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном соотношении, является единственной, остальные точки медианы треугольника пройдет через эту точку, что и будет доказано.

Определение. Точка пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3: Диаметр. треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Доказательство. Доказать, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого вам следует, напр, треугольник AOF и опустите перпендикуляр AK из вершины A на прямую BF (рис. 9).

Если рисунок из той же вершины медиану, биссектриса угла, а высота то медиана наибольший сегмент, а высота — наименьший сегмент.

Медиана треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, который имеет вершину треугольника в середине противоположной стороны.

Как построить медиану треугольника?

Чтобы построить медиану треугольника, надо:

1) Найдите и отметьте линейкой центр стороны. треугольника.

2) Соедините полученную точку с вершиной, противоположной этой стороне.

Рисунок медианы треугольника:

Как построить медиану треугольника Использование компасов и линеек без масштаба будет обсуждаться позже в разделе «Конструирование». треугольник».

Сколько медиан имеет треугольник?

Так как у треугольника три вершины и три стороны, отрезков, соединяющих вершину и центр противоположной стороны, также три. Итак, треугольник имеет три медианы .

Все три медианы треугольника они пересекаются в одной точке:

Точка пересечения медиан так называемый центр тяжести треугольника .

В точке пересечения медианы треугольника делится в соотношении два к одному, считая от вершины:

\AO:O<A_1> = BO:O<B_1> = CO:O<C_1> = 2:1.\» width=»340″ height=»15″ /></p><p>Об этом свойстве медиан треугольника, а также как определить длину медианы через длины сторон треугольника, будет обсуждаться более подробно позже, и мы рассмотрим, как использовать свойства медианы для решения проблем.</p><p>Кроме того, мы отдельно рассмотрим медиана прямоугольного треугольника, применить к гипотенузе и медиана равнобедренного треугольника, Каждый из них имеет свои свойства, и мы должны знать и уметь их применять.</p><blockquote><p>Если рисунок из той же вершины медиану, биссектриса угла, а высота то медиана наибольший сегмент, а высота — наименьший сегмент.</p></blockquote><h2>Треугольник. Медиана треугольника.</h2><p>Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника в середине противоположной стороны.</p><p>Медиана треугольника  — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника в середине противоположной стороны. для обозначения медиана общепринятая, добавляется буква t, название стороны, в середине которой она нарисована: m<sub>a</sub>,  m<sub>b</sub>,  m<sub>c</sub> .</p><p><img decoding=

В любом треугольнике Можно определить три момента медианы. Если мы нарисуем их точно, то в каждом треугольнике медианы они пересекаются в одной точке

Характерные особенности медианы.

Медиана разделяет треугольник на два треугольника с равной площадью.

Медианы треугольника Они пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2:1, начиная с вершины. Эта точка определяется как центр тяжести треугольника.

Весь треугольник можно разделить его медианами на шесть равных треугольников.

Оцените статью
Uhistory.ru