K и B — числовые коэффициенты функции. Это может быть любое число, например, положительное, отрицательное или дробное.
Линейная функция, ее свойства и график
Функция, заданная видом y = kx+b, где x — переменная, а k и b — некоторые числа, называется линейной функцией. Переменная x называется независимой переменной, а переменная y — зависимой переменной.
Графиком линейной функции является линия. Чтобы провести прямую линию, достаточно получить два значения x и получить два значения y, в результате чего получатся две точки, через которые проходит одна прямая.
Число K называется угловым коэффициентом линии.
Свойства линейной функции
- Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
- Областью значений также является множество всех действительных чисел.
- Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
- При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
- При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
- При k=0 прямая параллельна оси х.
- Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.
Рассмотрим пример линии до уровня координат в соответствии со значениями K и B
Пример №1
Постройте график функции y = 2x -1. Для облегчения расчетов, структурирования и т.д. создайте таблицу значений x и y.
Чтобы построить график, выберите два значения x. Желательно, чтобы одно из них было равно нулю, а второе значение (выберите три).
Затем замените значение x в уравнении и вычислите соответствующее значение y.
Запишите значение y в таблицу:.
Постройте систему координат, запишите в ней координаты A (0; -1) и B (3; 5) и проведите прямую линию к этим двум точкам.
Таким образом, из печати видно, что угловой коэффициент положительный. Это означает, что график растет, что видно на графике.
Каждое из этих уравнений является уравнением прямой линии. Решение системы заключается в нахождении цен, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению. Однако, поскольку они определяют точки, для решения системы необходимо найти точки на первой и второй прямых, то есть пересечения прямых.
Как меняется график при разных \(k\)?
Определите, как влияет на графикКоэффициент. \(k \) рисует различные функции с различными \(k \): \(⢙), \(-⢙), \(2 \), \(-2 \), \(0 \). В этом случае ⌘ (b \) равен (равен нулю) для всех функций, что устраняет его влияние. Другими словами, нарисуйте графики функций: \(y = \ \ fracx \), \(y = — \ fracx), \(y = 2x \), \(y = -2x \), \(y = 0 \).
\В случае \ (k = 2 \) и ʉ (ʉ frac \) функция возрастает, а в случае ʉ (k = -2 \) и ʉ (- \ frac) — убывает. На практике:.
При любом \(k>0\) функция возрастает и при любом \(k
Также можно заметить, что болеефактор в случае В случае \(k \) график более «острый».
Как по графику определить коэффициент k?
- Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус.
- Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:
Чтобы найти значение \ (k \) по модулю (т.е. без учета знаков), нужно разделить вертикальную сторону треугольника на горизонтальные плоскости. Можно воспользоваться эмпирическим правилом. Стояние ошеломляет». В этих случаях \(| k | = \ frac \). Следовательно, в первом графе ⌘ (k = 2 \), а во втором ⌘ (k = — \ frac \).
Как меняется график при разных значениях \(b\)?
\Чтобы определить, как \ (b \) влияет на графики, нарисуйте различные функции с разными Ј (b \): Ј (6 \), Ј (2 \), Ј (0 \), Ј (-3 \), Ј (-3 \), Ј (-3 \). (-8 \). Для всех функций установите ⌘(k \) равным ⌘(2 \).
Вы можете легко увидеть, поднимается ли линия на ⌘(b \) (если \(b>0 \)) или опускается относительно ⌘(| b | \).<0\)).
\For \(ː displaystyle k \). Функция ⌘ (⌘ displaystyle \ left (b = 0 \ right)). \(\) Измените функцию \ displaystyle k \) и посмотрите, что произойдет на графике.
Свойства линейной функции
Определяющей областью функции является сумма всех действительных чисел.
Сумма функции — это сумма всех действительных чисел.
Графиком линейной функции является линия. Чтобы провести прямую, достаточно знать две точки. Положение линии на уровне координат зависит от значений коэффициентов K и B.
Функция не имеет наибольшего или наименьшего значения.
Превосходство и нерелевантность линейной функции зависит от значений коэффициентов k и b.
b ≠ 0, k = 0, поэтому y = b является хорошим, и
b = 0, k ≠ 0, поэтому y = kx не требуется.
b ≠ 0, k ≠ 0, где y = kx + b — общая функция и
b = 0, k = 0, поэтому y = 0 является как четной, так и нечетной функцией.
Линейные функции не обладают свойством периодичности, так как их спектр непрерывен.
График функции пересекает координатные оси.
ось OX — в точке (-b / k; 0), ось
Ось OY — в точке (0; b).
x = -b/k является точкой нуля функции.
Для b=0 и k=0 функция y=0 равна нулю при любом значении переменной x.
Если b≠0 и k=0, то функция y=b обращается в нуль при любом значении переменной x.
Функция монотонно возрастает в области определения до k>0 и монотонно убывает до k.< 0 .
Для k> 0 функция принимает отрицательные значения в интервале (-∞; -b / k) и положительные значения в интервале (-b / k; +∞).
Коэффициент k представляет собой угол, образованный линией в положительном направлении OX. Следовательно, k называется угловым коэффициентом.
Для линейных функций есть два особых случая.
Когда b = 0, уравнение принимает вид y=kx. Такая функция называется прямо пропорциональной. График представляет собой линию, проходящую через начало координат.
- Если k = 0, то уравнение примет вид y = b. График — прямая, которая параллельна оси OX и проходит через точку (0; b) .
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиомы. Любые две точки могут пересекаться по прямой и только по одной. Из этой аксиомы следует, что для построения графика функции y = kx + b достаточно найти только две точки. Для этого нужно задать два значения x, заменить их уравнением функции и вычислить соответствующее значение y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 / 3x + 2, можно взять x = 0 и x = 3, а нормали этих точек будут y = 2 и y = 3. Возьмем точки A (0; 2) и B (3; 3). Соедините их, чтобы получить график:.
В уравнении функции y=kx + b коэффициент k участвует в наклоне графика функции.
Если k>0, то график наклонен вправо.
Коэффициент b отвечает за смещение графика вдоль OY.
Если b> 0, то график функции y = kx + b строится из y = kx путем сдвига вверх на b единиц вдоль оси OY.
Постройте три графика функции.
Проанализируйте формы. Поскольку коэффициент k больше нуля для всех функций, все графики наклонены вправо. Чем выше значение k, тем круче линия.
Поскольку b = 3 для каждой функции, все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
Давайте посмотрим на графики функций.
На этот раз коэффициент k меньше нуля для всех функций, а графики функций перекошены влево. Чем больше k, тем круче становится линия.
Коэффициент b равен 3, и график также пересекает ось OY в точке (0; 3).
Исследуйте график функции.
Коэффициенты k теперь равны во всех уравнениях функции. Получаются три параллельные линии.
Коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в разных точках.
График функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3).
График функции y=2x (b = 0) пересекает ось OY в начальной точке (0; 0).
График функции y=2x —2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).
Линии с одинаковым угловым коэффициентом параллельны.
Резюме. Если известны знаки коэффициентов k и b, то можно увидеть график функции y = kx+b.
Если k< 0 и b > 0, график функции y = kx+b имеет вид
Если k > 0 и b > 0, график функции y = kx+b имеет вид
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решить задачу и построить график линейной функции, необходимо вспомнить и использовать вышеуказанные свойства и правила. Практикуйтесь!
Пример 1. Постройте график функции y = kx + b, если известно, что она проходит через точку A (-3; 2) и параллельна прямой y = -4x.
Уравнение функции y = kx + b имеет два неизвестных параметра, k и b. Поэтому в рассматриваемом тексте нам нужно найти два условия, характеризующие график функции.
График функции y=kx+b параллелен прямой y=-4x, поэтому k = -4. Это означает, что уравнением функции является y = -4x+b.
Осталось найти Б. Мы видим, что график функции y = -4x + b проходит через точку A (-3; 2). Подставьте координаты точки в уравнение функции, чтобы получить правильное уравнение.
Поэтому необходимо построить график функции y = -4x-10.
Мы уже знаем точку A (-3; 2), поэтому давайте найдем точку B (0; -10).
Расположим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямыми линиями.
Пример 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A (1; 1). B (2; 4).
Если прямая проходит через точку с заданными координатами, то координаты точки удовлетворяют уравнению y = kx+b.
Поэтому замена координат точки в уравнении прямой дает верное равенство.
Подставьте координаты каждой точки в уравнение y = kx + b, чтобы получить одновременное линейное уравнение.
Вычтите первое уравнение из второго уравнения системы, чтобы получить k = 3.
Подставьте значение k в первое уравнение системы, чтобы получить b=-2.
Предположим, что нам даны две линейные функции (назовем эту линию) и (назовем эту линию). При различных комбинациях коэффициентов этих функций эти линии либо пересекаются в некоторой точке (перпендикулярно или произвольно), либо не пересекаются. Другими словами, они параллельны. Давайте рассмотрим эти варианты.
Свойства зависимости
Перед решением задачи следует обратить внимание на свойства линейных функций. Есть две позиции, которые зависят от коэффициента k. Для k> 0 функция обладает следующим свойством: если k > 0, то функция линейна.
- Графиком является прямая линия.
- D(y) = (-∞;∞).
- При отрицательных значениях аргумента значение функции эквивалентно отрицательной величине. Если независимая переменная — положительная величина, то и зависимая принимает только положительные значения. В этом моменте ключевую роль играет величина сдвига влево или вправо b.
- Возрастает на E(у).
- Отсутствие экстремумов.
- Непрерывная и нечетная.
- Период отсутствует.
Таким образом, график линейной функции — это прямая линия, и ее свойства необходимо исследовать по определенному алгоритму. Необходимо соблюдать основные свойства.
С осью OY. Представление всех точек, принадлежащих оси OY, равно нулю. Поэтому, чтобы найти пересечение с OY, x в уравнении функции заменяется на ноль. Тогда y = b.
График линейной функции
Как упоминалось выше, график этой функции — прямая линия.
Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (т.е. если известны две точки, принадлежащие прямой, то этого достаточно).
Предположим, у нас есть линейная функция ⌘ (y = 2x + 1 \). Чтобы построить его, необходимо вычислить координаты любых двух точек.
Другими словами, вам нужно взять два значения члена ⌘(x \) и вычислить соответствующие два значения функции.
Затем для каждой пары ⌘(⌘ слева (x; y \ справа)⌘) найдите точку в системе координат и проведите прямую через эти две точки.
Проще всего найти функцию с аргументом \(x = 0: y \ слева (0 \ справа) = 2 \ cdot 0 + 1 = 1 \).
Поэтому координаты первой точки ⌘(⌘ слева (0; 1 \ справа)．
Предположим, что остальные числа ⌘(x \). Например, ǫ (x = 1: y \ слева (1 \ справа) = 2 \ cdot 1 + 1 = 3 \).
Координаты второй точки ⌘ (⌘ слева (1; 3 \ справа)).
Поместите следующие две точки в координатную плоскость.
Затем с помощью линейки проведите линию через следующие две точки.
И вот график создан!
Теперь на том же графике нарисуем еще два графика: ⌘ (y = -1 \) и ǫ (y = -x + 2 \).
Создайте свою собственную аналогичным образом: вычислите значения y для любых двух значений ǫ(x \), отметьте эти точки на графике и проведите через них линию.
Открыть ответы…
Мы постоянно совершенствуем это руководство, и вы можете помочь в этом. Неограниченный доступ и использование руководства Юклава (более 100 статей по всем темам использования и применения, более 2000 решенных задач, более 20 онлайн семинаров и семинаров).
Видно, что все три линии имеют разные уклоны и пересекают оси координат в разных точках. Это вкладчики\(\ displaystyle k \) и \ displaystyle b \).
Давайте узнаем, чем они занимаются.
Коэффициенты линейной функции
Сначала посмотрим, что делают факторы (⌘ displaystyle b \). Рассмотрим функцию ⌘ (⌘ displaystyle y = x+b \), т.е. ⌘ (⌘ displaystyle k = 1 \).
\Посмотрите, что происходит на графике, изменив \(⌘ displaystyle b \).
\(⌘ displaystyle b: b = -2, давайте построим график с различными значениями ⌘ text< ->1, {text< >0, {text< >1, {text< >2 \):.
Что вы можете сказать о них? Чем отличаются графики?
Скоро вы в этом убедитесь. \ Чем больше \ (Lo_ displaystyle b \), тем больше линий размещается.
Далее, обратите внимание на следующее. График пересекает ось ⌘ (⌘ displaystyle \ mathbf \) в точке с координатами, равными ⌘ (⌘ displaystyle \ mathbf \)!
И это правда. Как найти пересечение графика с помощью оси ⌘ (⌘ displaystyle y \)? Что такое ⌘ (⌘ displaystyle x \) в такой момент времени?
В любой точке вертикальной оси (так называется ось ⌘ (⌘ displaystyle y \), если вы забыли) ⌘ (⌘ displaystyle x = 0 \).
Поэтому просто замените функцию ⌘ (⌘ displaystyle x = 0 \) и вы получите расположение графика на оси ⌘ (⌘ displaystyle y \).
\For \(ː displaystyle k \). Функция ⌘ (⌘ displaystyle \ left (b = 0 \ right)). \(\) Измените функцию \ displaystyle k \) и посмотрите, что произойдет на графике.
\ ⌘ displaystyle k = -3, давайте построим график ⌘ text< ->1, {text< >0, {text< >1, {text< >2: ס)
Ну, теперь мы это поняли: \ displaystyle k \) влияет на тенденцию графика.
Чем больше модуль (то есть, несмотря на синус), тем более «острой» (бездной — с большим углом к оси ɛ — ɛ displaystyle ox ɛ) является линия.
Анализ. Постройте новый график (⌘ displaystyle y = kx+b \):.
Выберите на графике две точки ɑ (ɑ displaystyle a \) и ɑ (ɑ displaystyle b \). Для простоты мы выбрали точку на пересечении графика с линией. Точка ⌘ (⌘ displaystyle b \) может находиться в любой точке прямой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 섹 (섹 displaystyle ab \), построенный в сечении 섹 (섹 displaystyle ab \), подчиненном прямоугольнику 섹 (섹 displaystyle ab \).
На диаграмме показано, что හ (⌘ displaystyle ac = x \) и හ (⌘ displaystyle bc = y-b \).
\Замените \ (⌘ displaystyle y = kx+b \) на ߋ (⌘ displaystyle bc: bc = y-b = kx+b-b = kx \).
\ bc = k \ cdot ac> \ rightrrow> k = \ frac >> =<\mathop<\rm tg>\ nolimits> \ alpha \).
Поэтому коэффициент ⌘ (⌘ displaystyle k \) равен тангенсу угла наклона графика, то есть углу между графиком и осью расстояния.
Поэтому (коэффициент ⌘ (⌘ displaystyle k \)) обычно называют угловым коэффициентом.
\Если \ (⌘ displaystyle k = 0 \), то ⌘ (⌘ также ⌘)<\mathop<\rm tg>\ nolimits> \ alpha = 0, ⌘), поэтому ⌘ (⌘ displaystyle \ alpha = 0 \), т.е. линия параллельна оси глубины на.
Понимание геометрического значения коэффициентов очень важно, так как они часто используются в различных задачах на линейные функции.
Разбор еще трех задач на линейную функцию
1. найдите коэффициенты ዄ (ዄ displaystyle k \) и ዄ (ዄ displaystyle b \) линейной функции, график которой изображен на рисунке. Напишите уравнение функции.
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Элементарные функции и их графики (ЕГЭ 18. Задача с параметром)
Параметры США часто включают исследование функции или, по крайней мере, знание ее свойств.
Чтобы научиться исследовать функцию, лучше всего научиться визуализировать ее графически.
В этом уроке вы рассмотрите основные элементарные функции, научитесь представлять их графически и узнаете, как на них влияют различные параметры (коэффициенты функции).
Преобразования графиков функций. ЕГЭ 18. Задачи с параметром.
Научились ли вы строить графики функций? Что произойдет, если вы измените один из тарифов сейчас? Или «инкапсулировать» часть функции в раздел?
Можно ли просто переместить/расширить старую диаграмму вместо того, чтобы создавать новую для этой цели?
Вы можете! И в этом уроке вы узнаете, как выполнять такие преобразования.
Благодаря этим преобразованиям вы поймете, как выглядит график функции для всех значений параметра, и научитесь решать задачи США, связанные с этим вопросом.
