Косвенное измерение — это определение значения физической величины по формуле, которая связывает ее с другими физическими величинами, определенными прямым измерением.
Относительная погрешность
Относительная погрешность Измерение — это отношение абсолютного погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины в долях или процентах:
Правила округления
На практике относительную погрешность Округление до двух значащих цифр, округление до избытка, т.е. округление до ближайшего целого числа. всегда Округление до последней значащей цифры, т.е. округление до ближайшей значащей цифры на единицу.
Для x = 1, $7 \pm 0.2$ относительная погрешность Измерения
$d = \frac \cdot 100 \text \approx 11.8 \text \approx 12 \text$ — погрешность достаточно велика.
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем выше его точность.
Примеры
Пример 1: Согласно эксперименту 1975 года, скорость света равна $c = 299 792 458 \pm 1,2 м/с$. Найти. относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.
$d = 4,0 \cdot 10^ \cdot 100 \text \approx (4,0 \cdot 10^ ) \text $
Пример 2. Из школьного эксперимента следует, что ускорение свободного падения равно $g = 10,0 \pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для этого эксперимента, и относительную погрешность относительно значения таблицы $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?
Для этого эксперимента $d = \frac \cdot 100 \text = 1.0 \text$.
Относительная погрешность по отношению к значению таблицы:
Согласно результатам $9.9 \le g \le 10.1$, стоимость таблицы не включена в этот лимит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: Результаты систематически завышаются.
Пример 3. Масса слона составляет $M = 3,63 \pm 0,01$ т, масса муравья $m = 41,2 \pm 0,5$ мг. Какое измерение является более точным?
Найдем относительные погрешности Измерение:
$ δ_M = \frac \cdot 100 \text \approx 0.28 \text.
$ δ_m = \frac \cdot 100 \text \approximx 1.21 \text \approx ↑ 1.3 \text $
Таким образом, масса слона может быть определена более точно.
Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите пределы точного значения, если измерение дает $V_0$ = 5 В.
Абсолютная погрешность измерения с помощью этого вольтметра:
\Дельта V = V_0 \cdot δ, \Дельта V = 5 \cdot 0.005 = 0.025 (V) \ca. 0.03 (V) $
Согласно результатам $9.9 \le g \le 10.1$, стоимость таблицы не включена в этот лимит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: Результаты систематически завышаются.
Как вычислить процентную погрешность — асболютную, относительную?
Абсолютную погрешность Обычно принято использовать греческую заглавную букву дельта (D).
Для определения абсолютного погрешность, формула должна быть использована
D = |x — x0|
Δ — абсолютная погрешность;
x — приблизительное (практическое) значение измеряемой величины,
x0 — точное (реальное/теоретическое) значение измеряемой величины.
Абсолютная погрешность имеет ту же единицу измерения, что и измеряемая величина. Например: Если измеряемая величина измеряется в метрах, то абсолютное значение также измеряется в метрах; если измеряемая величина измеряется в метрах, то абсолютное значение также измеряется в метрах. погрешность Если мы измеряем измеряемую величину в килограммах, то абсолютная величина также измеряется в килограммах. погрешность — В килограммах. И так далее.
2) Относительная погрешность.
Относительная погрешность, обычно обозначается строчной греческой буквой дельта (d).
Чтобы найти относительную погрешность, мы должны использовать формулу
d = |x — x0|/x0
δ — относительная погрешность;
x — приблизительное (практическое) значение измеряемой величины,
x0 — точное (реальное/теоретическое) значение измеряемой величины.
Относительная погрешность является безразмерной величиной. Похожие страницы погрешность либо имеет единицу измерения, равную 1 (доли единицы), либо измеряется в процентах.
Чтобы перевести относительную погрешность Чтобы преобразовать дробную часть единицы в процент, необходимо умножить ее на 100.
δ (%) = δ * 100 = (|x — x0|/x0) * 100
Например, рассмотрим следующую проблему.
Ученик измерил длину карандаша линейкой. Результат измерения составил 152 мм. Фактическая длина карандаша, измеренная линейкой, составляет 151,7 мм. Вопрос: Какова абсолютная и относительная погрешность Каково абсолютное значение результата измерения студента?
1) Найдите абсолютное значение результата измерения ученика. погрешность.
D = |x — x0| = |152 мм — 151,7 мм| = |0,3 мм| = 0,3 мм.
2) Найдём относительную погрешность.
δ = |x — x0|/x0 = (|152 мм — 151,7 мм|/151,7 мм) * 100% = (0,3 мм : 151,7 мм) * 100% = 0,198 %.
Ответ: Δ = 0,3 мм; δ = около 0,198 % (приблизительное значение).
В данном примере это можно вывести непосредственно из тригонометрической таблицы с формулой преобразования градусов в радианы: (формулы находятся в той же таблице).
Абсолютная и относительная погрешность вычислений
Символ модуля указывает на то, что нам не важно, какое значение больше, а какое меньше. Важно то, отклоняется ли приблизительный результат от точного значения в ту или иную сторону.
Относительная погрешность вычислений встречается с формулой: или, то же:
Относительная погрешность указывает, отклоняется ли приблизительный результат от точного значения. Существует версия формулы без умножения на 100 %, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенную версию с процентами.
После краткого упоминания вернемся к нашей проблеме, в которой мы вычислили приближенное значение функции через дифференциал.
Мы хотим вычислить точное значение функции с помощью микрокомпьютера: строго говоря, значение все еще является приближенным, но мы предполагаем, что оно точное. Такие проблемы действительно возникают.
Давайте рассчитаем абсолютное погрешность :
Вычислим относительную погрешность: измеряется в миллисекундах, поэтому дифференциал является лишь идеальным приближением.
Ответ:, абсолютный. погрешность вычислений, относительная погрешность вычислений
Следующий пример вам придется решить самостоятельно:
Пример 4.
Используя дифференциал, вычислите приблизительно значение функции в точке. Вычислить более точное значение функции в точке, оценить абсолютное и относительную погрешность вычислений.
Пример пустых вопросов и ответов в конце урока.
Многие заметили, что во всех рассмотренных примерах есть корни. Это не случайно, так как в большинстве случаев в задаче участвуют функции с корнями.
Но для нетерпеливых читателей я откопал небольшой пример, связанный с дугой:
Пример 5
Вычислите приблизительно значение функции в точке с помощью дифференциала
Этот короткий, но поучительный пример также предназначен для самопомощи. И я сделал небольшой перерыв, чтобы с новыми силами взяться за конкретную задачу:
Пример 6
Вычислите приблизительное значение с помощью дифференциала и округлите результат до двух десятичных знаков.
Решение. В задаче требуется округление до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная проблема округления, на мой взгляд, не представляет для вас сложности. Дело в том, что у нас есть касательная с аргументом, выраженным в градусах. Что вы делаете, когда вас просят решить тригонометрическую функцию со степенями? Например, и т.д.
Алгоритм решения остается по сути тем же, то есть, как и в предыдущих примерах, нужно применить следующую формулу.
Напишите очевидную функцию
Значение должно быть представлено в форме. Таблица значений тригонометрических функций очень полезна. Кстати, если вы еще не распечатали его, я рекомендую вам сделать это, потому что он понадобится вам на протяжении всего периода обучения высшей математике.
Анализ таблицы показывает «хорошее» значение для тангенса, которое близко к 47 градусам:
Итак
После первоначального анализа градусы должны быть преобразованы в радианы. Вот так, и только так!
Решения и ответы:
Пример 2 :
Решение: используем формулу: В данном случае:, ,
Пример 4:
Решение: используем формулу: В данном случае:, ,
Например:
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокомпьютера:
Относительная погрешность:
Ответ:, абсолютный. погрешность вычислений, относительная погрешность вычислений
Пример 5:
Решение: используем формулу:
Итак
Пример 7:
Решение: используем формулу: В данном случае:, ,
Пример 9:
Решение: Используйте формулу:
В этой проблеме:
Вычислите частные производные первого порядка в точке :
Общая разница в точке :
Например:
Использование калькулятора вычислим Точное значение функции в данной точке:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ:, абсолютный погрешность:, относительная погрешность:
Пример 11:
Решение: Используем суммарный дифференциал. вычислим данное выражение аппроксимируется:
В этой проблеме :
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Общая разница в точке :
Таким образом, приблизительное значение этого выражения равно:
Значение, вычисленное с микрокомпьютером: 2,007045533
Найдем относительную погрешность вычислений:
Пример 12:
Решение: используем формулу:.
В этой проблеме :, ,, ,, ,, ,, , ,.
Вычислите частные производные первого порядка в :
