Если один многочлен содержит m слагаемых, а другой — n, то их перемножение дает новый многочлен, содержащий m-n мономов (до сложения подобных слагаемых). Для умножения многочленов также используется метод скважин.
Урок 19. Многочлены стандартного вида
Полином шаблона вида – это многочлен, все члены которого являются мономами шаблона вида, между которыми нет аналогичных терминов.
Многочлен, имеющий два члена, называется бимодальным.
Многочлен, состоящий из трех членов, называется триномом.
Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшей из степеней мономов, входящих в данный многочлен.
Основная литература:
1 Никольский С.М. Алгебра: 7 класс // Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2017 г. — 287 с.
Дополнительная библиография:
1) Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс // Чулков П. В. — М.: Просвещение, 2014 — 95 с. 1.
2) Потапов М. К. Алгебра: учебные материалы для 7 класса // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2017 — 96 с.
3 Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре для 7 класса: по учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 степеней». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2017 г. — 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
«Единственный путь к знаниям лежит через деятельность», — сказал однажды ирландский драматург Джордж Бернард Шоу.
Наша задача сегодня заключается в следующем. многочлен к стандартному виду.
Во-первых, давайте вспомним, что такое полислог. многочлен.
Многочлен — это сумма одного члена.
Полином шаблона вида – это многочлен, из которых каждый член является многочленом стандартного многочлена вида и не содержит аналогичных терминов.
Это может быть, например многочлены, сведена к стандарту виду:
12a 2 bc 3 + xu 4 + 1.2cp 8 (триномиал)
2,5ас — 3k 2 x 5 (двучлен)
В них каждый член многочлена написанные стандартным языком виде, и ему нет подобных.
Стоит отметить, что многочлены могут иметь свои собственные имена.
Например, многочлен, Два члена называются бинарными, три члена — триномиальными и так далее.
И это может выглядеть следующим образом многочлены нестандартного вида:
2abac 3 + xxu 4 + 1.2cp 8
2,5asa — 3k 2 x 5 k + 16
В этом случае некоторые из терминов многочленов не включены в стандарт виде.
Рассмотрим правило сокращения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена для вставки в шаблон виду;
2) Приведите аналогичные условия.
Пример:
Сокращение до нормы виду многочлен:
Согласно пункту 1 правила, отбросьте все термины многочлена к стандартному виду, но в этой проблеме все термины уже есть в шаблоне. виде, т.е. сначала цифра, а затем буквы в алфавитном порядке.
Следуя предложению 2 правила, мы будем использовать аналогичные термины. В этом многочлене они у нас есть, поэтому мы должны их различать.
Конверсия приводит к многочлен, написанный в шаблоне виде.
Согласно этому правилу, каждый многочлен можно свести к стандартному виду.
Давайте рассмотрим еще одну похожую проблему.
Давайте сведем его к стандарту виду многочлен:
Решение: 3 ab + 7 c 2 -3 ab — 7c = 3 ab + 7 c 2 — 3 ab — 7c 2 = 0
Согласно пункту 1 правила, отбросьте все термины многочлена к стандартному виду, В задаче один термин отсутствует в шаблоне виде.
Это интересно!
Мы уже знаем, что многочлен — является суммой мономов, которые, в свою очередь, являются суммой мономов. представляют это произведение арифметических и буквенных кратных.
Самое интересное, что что многочлены иногда они имеют конкретные названия. Например, многочлен, который состоит из одного монома, можно назвать мономиальным. Мономорфом можно назвать многочлены: 7 или а.
Если многочлен Если он состоит из двух членов, то есть двух мономов, то мы знаем, что это многочлен, но мы также можем назвать его биномом, например, 12a + 5 — это бином.
Если многочлен имеет три члена, т.е. три монома, мы знаем, что это трином, но мы также можем назвать его триномом, например, 12a 2 + a + 5.
Если слагаемых в многочлене если их больше трех, то это просто – многочлен.
Кстати, при записи многочлен и обозначается буквой «P», от греческого слова «poly» — «много», «множество», отсюда и название в математике. многочлены В математике их также называют полиномами.
Проанализируйте упражнения в уроке.
1. найти степень многочлена 5ах + 2а
Решение: Сначала найдите степень каждого члена многочлена.
Имя единственного числа имеет степень 2
Сингуляр 2a имеет степень 1. Так как высшая степень равна 2, то это степень данного многочлена.
2) Выберите и замените * мономиалом так, чтобы многочлен получился 5 степени
7x 4 + 12x 3 — 3x 2 + 1 + *
Сначала мы должны определить начальные мощности всех членов многочлена.
Мономиальное число 7x 4 имеет степень 4.
Мономиальное число 12x 3 имеет степень 3.
Мономиальный ряд — 3x 2 имеет степень 2.
Мономиал имеет степень 0. Поэтому в данном случае не существует мономиала степени 5. Рассмотрим варианты ответов и выберем ответ степени 5.
Решение: 3 ab + 7 c 2 -3 ab — 7c = 3 ab + 7 c 2 — 3 ab — 7c 2 = 0
Подобные члены
Аналогичные термины являются мономами в многочлен, которые отличаются только коэффициентом, знаком или вообще не отличаются (противоположные термины также можно назвать похожими). Например, в многочлене:
| 3 a 2 b | + | 5 abc 2 | + | 2 a 2 b | — | 7 abc 2 | — | 2 a 2 b |
термины 3 a 2 b, 2 a 2 b и -2 a 2 b, а также термины 5 abc 2 и -7 abc 2 являются аналогичными терминами.
Приведение подобных членов
Если многочлен содержит аналогичные термины, его можно свести к более простой формуле виду объединив похожие термины в один. Этот процесс называется сопряжением похожих терминов. Во-первых, мы заключаем все сходные термины отдельно в круглые скобки:
(3 a 2 b + 2 a 2 b — 2 a 2 b ) + (5 abc 2 — 7 abc 2 ).
Чтобы объединить несколько одинаковых терминов в один, мы складываем их коэффициенты, а коэффициенты букв оставляем без изменений:
((3 + 2 — 2) a 2 b ) + ((5 — 7) abc 2 ) = (3 a 2 b ) + (-2 abc 2 ) = 3 a 2 b — 2 abc 2 .
При сокращении подобных членов алгебраическая сумма нескольких подобных мономов заменяется одним мономом.
Многочлен стандартного вида
Полином шаблона вида — это многочлен, все члены которого являются мономами шаблона вида, между которыми нет аналогичных терминов.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, Достаточно выполнить отказ от аналогичных терминов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:
3 xy + x 3 — 2 xy — y + 2 x 3 .
Давайте сначала найдем похожие термины:
| 3 xy | + | x 3 | — | 2 xy | — | y | + | 2 x 3 . |
Теперь давайте выполним преобразование:
| 3 xy | + | x 3 | — | 2 xy | — | y | + | 2 x 3 | = |
= xy + 3 x 3 x 3 — y .
Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то обычно термины из более высокой силы переводятся в более низкую силу. Бесплатный термин многочлена, если есть, до последнего места справа.
Решение: 3 ab + 7 c 2 -3 ab — 7c = 3 ab + 7 c 2 — 3 ab — 7c 2 = 0
Одночлены, многочлены
Мономиальное выражение — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их мощностей.
Например, выражения 2a 2 b ? 2x 2 2 -(-4) 3 yz 2 ; -5x 4 являются мономами.
Стандартный вид Мономиал — это произведение первого числового коэффициента и мощностей различных переменных.
Например, модель видом одного члена (-2) 3 x 4 y-(-3) равно 24x 2 y.
Коэффициент монома — это числовой множитель этого монома, который в норме. виде.
Степень монома — это сумма экспонент степеней всех его переменных. Если мономиал является числом (не содержащим переменных), то его степень считается равной нулю.
Многочлены
Многочлен — это выражение, которое является суммой монома (когда многочлен Если у него два члена, он называется полиномом, если три — триномом).
Стандартный вид многочлена — является суммой стандартного полинома вида без аналогичных условий. Наибольшая из степеней мономов, входящих в ряд в многочлен стандартного вида, называется силой этого многочлена.
Власть произвола многочлена называется степень многочлена стандартного вида, которая идентична оригиналу многочлену.
Для того чтобы умножить мономиаль на многочлен, необходимо умножить этот мономиал на каждый член многочлена и добавьте полученные продукты.
Приумножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножается на каждый член второй таблицы многочлена и добавьте полученные продукты.
Разложить многочлен В мультипликаторах означает представить этот многочлен в виде продукт двух или более многочленов.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, Достаточно выполнить отказ от аналогичных терминов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:
Примеры решения задач
Задание 1
Определите степень многочлена .
Решение: Высшая степень монома равна, поэтому степень равна многочлена — 3.
Задание 2
Дайте аналогичные суммы. многочлена: .
