Как найти среднюю линию треугольника. Средняя линия как найти треугольника

Содержание

Решение. Пусть ABCD — таблица, а ее средняя линия, lm — определенное сечение (рис. 7). Поскольку AE = EB, по теории Талиса выполняется следующее равенство: ln= nm, что и требовалось доказать.

Понятие треугольника

Треугольники — это геометрические фигуры, возникающие из трех отрезков. Они соединены с тремя точками, которые не лежат на прямой линии. Отрезки называются сторонами, а точки — вершинами.

Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или прямоугольным.

Треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол, т.е. угол, равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу, является подчиненной; две другие стороны — катеты.

Прямоугольный (равносторонний или эквивалентный) треугольник — это прямоугольный многоугольник, у которого все стороны равны и все углы также равны 60°. В равносторонних треугольниках высота является одновременно биссектрисой и медианой.

Свойство треугольника:.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро систематизировать свои знания перед экзаменом? Запишитесь на урок математики Use Maths на SkySmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для каждого типа этой фигуры.

Средняя линия треугольника — это часть треугольника, которая соединяет центры двух сторон. Для каждого треугольника можно разработать три средние линии.

Основание — это сторона с параллельными средними линиями.

Как найти средние линии треугольника — мы объясним далее, но сначала давайте разберемся со всеми определениями немного подробнее.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в каждом треугольнике можно провести три средние линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок равен половине основания. Это тип средней линии для прямоугольных треугольников.

Прямые углы помогают применять другие точки равенства и подобия. Геометрическое тождество можно использовать для углов прямоугольного треугольника без дополнительной структуры, а по теореме Пифагора можно найти любую сторону.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны перпендикуляру, а третья равна медиане, призванной быть подчиненной. Средние линии кислотных и неправильных треугольников не обладают аналогичными свойствами.

Выделяя срединные линии, мы говорили о вторичных свойствах отрезков. Мы привели свойства центральной линии и рассказали об особенностях формулировки этих свойств. Мы обсудили, как типы проявляются в длине центральной линии треугольника и как средняя линия делит треугольник. Все эти свойства используются при разрешении треугольника.

Видео

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.

Средняя линия

Чтобы понять, как найти центр треугольника, можно воспользоваться простой линейкой. Для этого выделите две любые стороны фигуры. Затем отметьте каждую точку, равноудаленную от каждой из вершин, примыкающих к этой стороне. Чтобы спроектировать центральную часть, эти две точки необходимо соединить. Их названия интуитивно понятны всем, поскольку они соединяют носителей информации с обеих сторон.

Важные свойства

Этот компонент имеет три основных свойства Предположим, у нас есть произвольный треугольник типа ABC, с P и Q в серединах AB и AC соответственно. Учитывая эту запись, PQ является средней линией ABC. Применяются следующие геометрические свойства.

Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.

Пункт №3 списка применим к любому треугольнику. Для доказательства используйте формулу Герона. В соответствии с этим, площадь этой фигуры можно рассчитать следующим образом:.

где p = (a + b + c)/2 — полуокружность диаграммы. Пусть α, β и γ — длины его сторон. Символизируйте стороны ABC таким же образом. Тогда длины отрезка APQ равны a / 2, b / 2 и c / 2. Полупериметр APQ равен p1 = (a + b + c)/4 = ½*p. Подставив все известные величины в формулу Герона, получим площадь S1.

Другими словами, площадь треугольника APQ составляет одну четверть от данной величины ABC.

Решение задачи

PQ — середина треугольника ABC, граничные точки P и Q которого лежат в точках AB и AC соответственно. Используя метод координат, докажите, что эта линия равна половине длины стороны BC.

Прежде чем найти решение этой проблемы, необходимо определить координаты вершин исходной фигуры. Они следующие.

Точка P делит ребро AB ровно пополам, поэтому для нахождения ее координат необходимо выполнить следующее вычисление

Координаты точки Q вычисляются аналогичным образом.

Вспоминая формулу длины вектора, когда известны координаты начала и конца, можно выполнить следующий расчет для средней линии PQ

PQ = ((x1 + x3)/ 2-(x1 + x2)/ 2)^ 2 + ((y1 + y3)/ 2-(y1 + y2)/ 2)^ 2)^ 2)^ 0,5 =½*((x3-x2)^ 2 + (y3-y2)^ 2)^ 0,5.

Тогда длина стороны BC становится равной

Из цитаты этих двух уравнений следует, что уравнение, которое необходимо доказать, следующее

Поскольку в доказательстве использовались произвольные координаты вершин треугольника, полученные выводы являются общими и универсальными для каждого типа рассматриваемой фигуры.

Формула для расчета

Центральная линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

ЭВИДЕНЦИЯ.

\Рассмотрим ǆ (ǆ треугольник BA_1C_1 \) и ǆ (ǆ треугольник BAC \).

Мы видим, что треугольники похожи по двум соответствующим сторонам и углу между ними.

Следовательно, ἀ (ἀ угол BA_1C_1 = ἀ угол BAC \) является соответствующим элементом подобного треугольника. Поэтому, согласно принципу параллелизма $A_1C_1 \ параллельно AC $.

Подобие также показывает, что ǁ(ǁ frac = \ frac12 \)

Это уравнение работает для любого треугольника, включая изоклетки, изоклетки и правильные треугольники.

Проведите центральные линии см, см и см на заданном треугольнике. Найдите периметр треугольника. Решение Средняя линия равна половине параллельных сторон, поэтому можно найти длины всех сторон треугольника. см см см см см см см Теперь можно найти периметр треугольника как сумму всех длин. Его стороны: см см Ответ: см см см.

Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

Значение. Средняя линия четырехугольника соединяет середины непересекающихся сторон четырехугольника.

Поскольку каждый четырехугольник имеет две пары непересекающихся сторон, каждый четырехугольник имеет две средние линии (рис. 10).

Средние линии на рисунке 10 — это отрезки EF и GH.

Примечание 1: Приведенное выше определение средней линии применимо не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис. 11). Пространственный четырехугольник» — это замкнутая четырехсвязная линия, не имеющая самопересечений и не находящаяся на одном уровне.

На рис. 11 показан «пространственный четырехугольник» ABCD. Его середины — отрезки EF и GH.

Замечание 2. Хотя таблица является четырехугольником, принято называть среднюю линию банкира единственной частью, соединяющей середины ее сторон.

Замечание 3. В этом разделе книги невыпуклые четырехугольники и четырехугольники с независимыми сечениями не рассматриваются.

Теорема Валлиньона. Середины сторон любого плоского или «пространственного» четырехугольника являются вершинами прямоугольника.

Доказательство Рассмотрим плоский четырехугольник ABCD, изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F и H являются средними точками, а отрезок AC — диагональю четырехугольника.

Отрезок EG — перпендикулярная биссектриса треугольника ABC, поэтому отрезок EG параллелен и равен половине диагонали AC. Отрезок FH — перпендикулярная биссектриса треугольника CDA, поэтому отрезок FH параллелен диагонали AC и составляет ее половину. Таким образом, в четырехугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH одинаково параллельны. Знак прямоугольника указывает на то, что четырехугольник EGFH является прямоугольным, что и требуется доказать.

Замечание 4. Для «пространственного четырехугольника» ABCD доказательство остается прежним (рис. 13).

Пункт 5. Средние линии любого четырехугольника пересекаются и делятся пополам в точке пересечения (рис. 14).

Средние линии тетраэдра

Тетраэдры представляют собой произвольные треугольники (рис. 17).

Каждый тетраэдр имеет четыре вершины, четыре поверхности и шесть ребер, разделенных на три пары непересекающихся ребер. На рисунке 17 каждая пара непересекающихся ребер показана другим цветом. Все две непересекающиеся грани тетраэдра располагаются на пересекающихся линиях пересечения.

Значение. Центральная линия тетраэдра (с обеих сторон) — это часть, соединяющая середины двух непересекающихся граней тетраэдра.

Каждый тетраэдр имеет три центральные линии. Часть EF на рис. 18 является одной из центральных линий тетраэдра.

Утверждение 7. Все центральные линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся посередине этой точкой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Выберите среднюю линию тетраэдра. Например, EF и докажите, что остальные средние линии тетраэдра проходят через центр отрезка EF. Для этого рассмотрим, например, медиану GH, соединяющую средние точки AC и BD и соединяющую точки E, H, F и G с отрезком (рис. 19).

Так как отрезок EH является средней линией треугольника ADB, он является

Значение. Точка пересечения средних точек тетраэдра называется центростремительной силой тетраэдра.

Пункт 8. Рассмотрим декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD. Если центр этого тетраэдра обозначить буквой М (рис. 20), то векторное равенство выполняется.

Прямые углы помогают применять другие точки равенства и подобия. Геометрическое тождество можно использовать для углов прямоугольного треугольника без дополнительной структуры, а по теореме Пифагора можно найти любую сторону.

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации рассматриваются определения, качества и признаки треугольников. Вы также получите примеры решений для лучшего понимания теоретического материала.

Часть треугольника, соединяющая центры двух сторон треугольника, называется средней линией.

KL – средняя линия треугольника ABC
K – середина стороны AB: AK = KB
L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (не пересекается) и вдвое меньше этой стороны.

Свойство 2

Средняя линия треугольника разрезает аналогичный треугольник (1:2), который в четыре раза меньше исходного треугольника.

△KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC: AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL .
S_abc. =4⋅s_△KBL

Свойство 3

Для каждого треугольника можно разработать три средние линии.

KL, KM и ML — средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три центральные линии треугольника делят его на четыре треугольника равной площади.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной стороны треугольника, пересекает вторую и параллелен третьей — это центральный класс треугольника.

Дан треугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, а известные величины — длинами перпендикуляров. Средняя линия, соединяющая катетеры, параллельна нижней и равна половине ее длины.

Для нахождения подчиненных можно использовать теорему Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100. bc = 10.

Поэтому центральная линия lm = 1 /₂ de bc = 1 /₂ ⋅ 10 = 5.

Теорема Валлиньона. Середины сторон любого плоского или «пространственного» четырехугольника являются вершинами прямоугольника.

Длина средней линии треугольника

Средняя линия треугольника — интересный классификационный отрезок, так как он обладает рядом свойств, позволяющих находить простые решения, казалось бы, сложных задач. Давайте рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как длину этого отрезка можно найти в треугольнике.

Треугольник и его характеризующие отрезки

Треугольник — это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от величины углов треугольник делится на

Основные характеристики треугольника следующие

Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – отрезок, проведенный из вершины угла к противоположной стороне и делящий угол пополам
Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Рисунок 2.Высота, межстрочный и биссектрисальный треугольники

За каждый раздел характеристики начисляется балл. Когда три центральных пересечения класса, бисквит и возвышение, соединяются, возникает золотое пересечение треугольников.

Однако существует несколько дополнительных классифицированных разделов.

Серединный перпендикуляр – перпендикуляр восстановленный из середины стороны. Как правило серединный перпендикуляр продлевается до пересечения с другой стороной.
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
Радиус вписанной окружности. Вписанная окружность – окружность, которая касается каждой из сторон треугольника. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника
Радиус описанной окружности. Описанная окружность – окружность, содержащая в себе все вершины треугольника. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

Смежные стороны треугольника — это стороны с общей вершиной. В геометрии существует понятие противоположных сторон, то есть сторон, противоположных друг другу и не имеющих общей вершины. Однако это понятие не применимо к треугольникам — все стороны треугольника смежные.

Свойства средней линии

Средняя линия не обладает многими свойствами, все из которых важны для решения задачи. Дело в том, что лишь немногие задачи связаны с нахождением длины средней линии, некоторые из них, несмотря на свою простоту, могут привести учащихся в апатию.

Давайте теперь приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в предыдущем свойстве.
Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5

Фактический вид длины срединной линии вытекает из второго свойства.

$ m = 1 \ над * a $-, где m — средняя линия, а a — сторона, противоположная средней линии.