Арифметическая прогрессия что такое. Арифметическая прогрессия что такое

Эквипропорциональная последовательность — это ряд чисел, в котором каждый член начинается со второго и равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q. Это знаменатель прогрессии. Элементы экви-пропорциональной последовательности могут быть заданы следующим образом.

Содержание
  1. Прогрессии и последовательности: решаем ОГЭ по математике
  2. Что такое арифметическая прогрессия?
  3. Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?
  4. Формулы n –го члена арифметической прогрессии
  5. а n = a1 + d(n – 1).
  6. аn = am + ( n – m)d.
  7. Изображение членов арифметической прогрессии точками на координатной плоскости
  8. an = a1 + d(n-1) = dn + (a)1 – 1).
  9. Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
  10. п.3. Свойства арифметической прогрессии
  11. п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
  12. п.5. Примеры
  13. Формула n-го члена арифметической прогрессии
  14. Формулы арифметической прогрессии
  15. Геометрическая прогрессия
  16. Арифметическая прогрессия.
  17. Определения и обозначения.
  18. Свойства арифметической прогрессии.
  19. Примеры задач на арифметическую прогрессию.
  20. Геометрическая прогрессия.
  21. Определения и обозначения.
  22. Свойства геометрической прогрессии.
  23. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
  24. Примеры задач на геометрическую прогрессию.

Прогрессии и последовательности: решаем ОГЭ по математике

Вопросы GCSE по «эволюции» тесно связаны с понятием «последовательность». Если ученики понимают, как числа в последовательности связаны друг с другом, они хорошо справятся с домашним заданием. Здесь мы рассмотрим один из самых сложных предметов в GCSE Maths — прогрессию. Примечание: Данный ресурс содержит все необходимое для решения GCSE без воды.

Слишком часто мы сталкиваемся с математическими последовательностями и событиями в нашей жизни буквально каждый день, не осознавая этого. Однако такая встреча не всегда приятна, особенно если она происходит во время инспекции.

Последовательность — это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям

  • для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Вы хотите остепениться и подготовиться к сдаче GCSE? MAXIMUM готов помочь! Все наши учителя сдали экзамены с хорошими оценками. Мы ежегодно изучаем изменения в FIPI и соответствующим образом адаптируем наши курсы. Узнайте больше о наших курсах и выберите подходящий!

Что такое арифметическая прогрессия?

Взгляните на следующую серию рисунков.

Какую аудиторию они могут иметь? Во-первых, все они являются нечетными числами, тогда каждое последующее число можно получить из предыдущего путем прибавления одного и того же числа. Назовем это число d. В данном случае d=2.

Приведенная выше последовательность называется эквидифференциальной последовательностью. Дайте определение.

Приведем основное уравнение:.

Сумма первых n членов последовательности может быть рассчитана по следующей формуле

Числовой прогресс также имеет отличительные свойства.

Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?

Теория — это прекрасно, но все теоретические вопросы должны применяться на практике. Сейчас мы рассмотрим некоторые вопросы GCSE по числовой прогрессии.

Например, в GCSE вы можете встретить следующие работы

Вот это да! Мы успешно выполнили первый прототип задания, с которым мы можем столкнуться на реальном экзамене. Мы добиваемся прогресса.

Это! Формула для суммы прогрессий для первых n членов приведена в справочном материале по тесту, поэтому в ней нет ничего сложного.

Конечно, мы можем сложить все значения вручную, но что если нам нужно найти сумму ɑ (ɑ displaystyle 100 \) для данного члена в задаче, как это делал Гаусс?

Формулы n –го члена арифметической прогрессии

Выражение для n-го члена экви-дифференциальной последовательности (an ), что первый член1 Разница составляет d: d

а n = a1 + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если вы знаете значения трех из них, вы также можете вычислить значение четвертого. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае определите известные переменные, чтобы получить ответ): d

  1. В арифметической прогрессии а1 =2 и d=3. Найдите одно из них.65. (Ответ: 194.)
  2. В арифметической прогрессии а86 =100 и d=-4. Найдите одну1. (Ответ: 440.)
  3. В арифметической прогрессии а1 =65 и21 = – 55. Найдите d. (Ответ: – 6.)
  4. В арифметической прогрессии а1 = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана эволюция чисел: 1.5, 4.5, 7.5, 10.5, ….. Каково количество членов в последовательности, начиная с 1000 и больше?

В данной разработке.1 =1,5 и d=4,5 —1,5 =3. Запишите выражение для n-го члена.n = 1,5 + 3 (n —1), т.е. an = 3n —1,5.

Найдите значение n. В этих условияхn > 1000. Для этого решите неравенство 3n —1,5> 1000, n> 333. Таким образом, членов в этой прогрессии больше 1000, начиная с условия, что число равно 334. 1334Примечание: Есть один.334 (= 3-334-1.5 = 1000.5).

Способ 1. Выразив а15 и один.20 От одного.1 и d, составим систему уравнений:

Решив его, получаем.1 = 138, d = -7. (Найдите этот результат самостоятельно.) Используя уравнение для n-го члена30, a is: a30= 138-7-29=-65.

Метод 2. выразить один20 Множественные.15 и г: а20 = a15 +5d. Подставьте значения20 и один.15, имеем: 5 = 40 + 5d, следовательно, d = -7. Теперь находим30. Это можно сделать, например, следующим образом.30 = a20 + 10d = 5-7-10 = -65.

Второй метод основан на следующем утвержденииn является числовой последовательностью и для всех натуральных n и m

аn = am + ( n – m)d.

Если вы забыли это выражение, в любом случае вы можете выразить одну прогрессию в терминах другой, выполнив простое преобразование. Например, выразим одно20 Множественные.5: а2 0 = a1 + 19d = (a1 +4δ) + 15δ = α5 + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии точками на координатной плоскости

Термины числовой последовательности могут быть представлены точками на координатном уровне. Для этого на горизонтальной оси указывается номер члена, а на вертикальной оси — соответствующий член последовательности.

 Вопрос 12.В течение первой минуты бега спортсмен пробежал 400 метров, но в последующую минуту пробежал на 5 метров меньше, чем в предыдущую. Если она длилась 30 минут, то какое расстояние преодолел спортсмен во время тренировки? Округлите до ближайшего целого числа и ответьте в километрах.

Если последовательность является эквидифференциальной, то точка, обозначающая член, лежит на прямой. Важно отметить, что n-й член числовой прогрессии зависит от количества членов n. На практике: если

an = a1 + d(n-1) = dn + (a)1 – 1).

Например, для числовой прогрессии1 = 1 и d = 3, тогда an = 1 + 3 (n-1), т.е. an = 3n-2; поэтому точка, обозначающая член этой прогрессии, лежит на прямой y = 3 x-2 (см. график).

Условия численной прогрессии варьируются в равной степени. На каждом шаге вдоль горизонтальной оси эти точки увеличиваются или уменьшаются на одно и то же количество единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6: Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а1 = 1, an = 1000, n = 1000, получим:
Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив S n От одного.1, d и n :

Пример 7: Найдите сумму всех двузначных чисел, делящихся на три.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а1 = 12, an = 99, d = 3. Найдите номер последнего члена. Подстановка в формулу an = a1 + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3( n – 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

Это обзор математики «численного прогресса». Выберите следующий шаг.

Присваиваемый номер уникален для одного номера в последовательности. Это означает, что в последовательности нет 3-секундных номеров. Второе число (например, ⌘ (⌘ displaystyle n \)-число) всегда равно 1.

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. линейность

Арифметическая прогрессия — это линейная функция f(n) = kn + b:.

Угловой коэффициент k = d и свободный член b = a1 -d.

Последовательность равных чисел

Последовательность равных чисел

Результат: любая числовая последовательность может быть задана формулой $\mathrm.< a_n=dn+b,\ \ n\in\mathbb,\ \ b\in\mathbb,\ \ d\in\mathbb> $, где d и b — целые числа.

Свойство 2. Доказательство численного прогресса.

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы каждый член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего. $ \ mathrm< \left\- \text\ \Leftrightarrow\ a_n=\frac+a_>,, \ \ \ \ n \ в \ mathbb, ⢙ \ \ n \ geq 2 >> $ Результат: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудаленных от него членов: $ \ mathrm< a_n=\frac+a_>\ \ \ \ n \ в \ mathbb, \ \ \ n \ в \ mathbb, \ \ \ n \ geq k + 1> $

Пример: поиск одного9Если мы это знаем.7 = 10, a11 = 15 от результата знака экви-дифференциальной последовательности: ס (ס mathrm> = \ frac = 12,5> \)

Свойство 3. Эквивалентность сумм индексов

Если n> является арифметической прогрессией, равенство сумм индексов вытекает из равенства сумм членов. $ \ mathrm< m+k=p+q \Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q >Результат: сумма членов, равноудаленных от края прогрессии, постоянна: $ \ mathrm< a_1 + a_n=a_2+a_=a_3+a_=. > $

Пример: поиск одного6Если мы это знаем.2 = 5, a4 = 10, a8 = 20, если сумма индексов равна a2 + a8 = a4 + a6 где.6 = a2 + a8 -a4 = 5 + 20-10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов эквидифференциальной последовательности равна произведению среднего арифметического ее крайних значений и числа членов. $ \ mathrm.< S_n=\fracn> $

Пример: найдите сумму первых 100 целых положительных чисел: 1+2+. + 100 В этом случае.1 = 1, a100 = 100, n = 100 \ (⌘ mathrm< S_=\frac\cdot 100=5050>\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите разность между первым членом и числовой прогрессией в следующих случаях.7 = 10, a15 = 42 Найдите разность между этими терминами.15 -a7 = (a1 + 14d) — (a1 + 6d) = 8d получена разность хода: 42 — 10 = 8d => d = 32: 8 = 4 Термин 7: a7 = a1 + 6d = a1 +6-4 = 10 => a1 = 10-24 = -14 Ответ: a1 = -14, d = 4

б) один.10 = 95, s.10 = 500 Эволюционная сумма: ס (ס mathrm = \ frac> \ cdot 10 \ Rightarrow 500 = (a_1 + 95) ס cdot 5 \ Rightarrow a_1 + 95 = 100 \ Rightarrow a_1 = 5> \) Раздел 10: ס (ס mathrm = a_1 + 9d \ Rightarrow95 = 5 + 9d \ Rightarrow 9d = 90 \ Rightarrow d = 10> \) Ответ: a1 = 5, d = 10

Пример 2.Найдите сумму первых 100 нечетных целых положительных чисел. Какова окончательная сумма этого итога? Найдите сумму \ (⌘ mathrm<\underbrace<1+3+5+. >_> \) путем гадания.1 = 1, d = 2, n = 100. из этого следует, что \(⌘ mathrm = \ fracn = \ frac \ cdot 100 = 10000> \) Формула для n-го члена этой прогрессии: ⌘(⌘ mathrm \) 100-й член ⌘(⌘ mathrm = 2 \ cdot 100-1 = 199> \) Ответ: s100 = 10000,.100 = 199

Пример 3*. Количество членов 10, 16, 22, в экви-дифференциальной последовательности. Они находятся между числами 110 и 345? Условия являются одними из.1 = 10, d = 16-10=6 Выражение a для n-го члена данной прогрессииn = a1 + d(n-1) = dn + (a1 -d) = 6n + 4 Определенные числа могут быть членами определенной серии или соседними с ними. Замените их в формуле для n-го члена: ⌘ begin \ mathrm< 6k+4=110\Rightarrow 6k=106\Rightarrow k=17\frac23\Rightarrow 17\lt k\lt 18 >\\\\ mathrm< 6m+4=345\Rightarrow 6m=341\Rightarrow m=56\frac56\Rightarrow 56\lt m\lt 57 >\ Ближайший правый сосед Јend100 — 118 = 6-18 + 4 = 112, левым ближайшим соседом k =18345 является56 = 6-56 + 4 = 340, m = 56 Количество членов, прогрессирующих с заданным интервалом:.

n = m-k + 1 = 56-18 + 1 = 39

Пример 4. Одиннадцатый член в последовательности экви-дифференциала равен 7. Найдите сумму первых 21 члена. Из свойств суммы индексов: a11 + a11 = a1 + a21 где.1 + a21 = 2a11 = 14 Сумма искомых денег: ⌘ (⌘ mathrm = \ frac> \ cdot 21 = \ frac \ cdot 21 = 147> \) Ответ: 147

Пример 5. Углы выпуклого пятиугольника образуют числовую прогрессию. Найдите третье условие прогрессии. Сумма углов выпуклого пятиугольника S5 = 180°- (5-2) = 540° Если углы образуют числовую прогрессию, то. $ \ mathrm.< S_5=\frac\cdot 5=540^\circ\Rightarrow a_1+a_5=216^\circ > Как сумма показателей $: a3 + a3 = a1 + a5 Откуда: \(\mathrm\) Ответ: 108°

Пример 6.При каких значениях x числа x 2-11, 2x 2 + 29 и x 4-139 в этой последовательности являются частью равновероятной последовательности? Для последовательных членов получаются следующие уравнения

a2 -a1 = a3 -a2 (2x 2 + 29) — (x 2-11) = (x 4 — -139) — (2x 2 + 29) x 4-3x 2 —208 =0⇒ (x 2 + 13) (x 2-16) = 0⇒ x2 = 16⇒ x = ±4

Пример 7.Сумма первых трех членов в убывающей последовательности равенств равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член в прогрессии. d по контракту.< 0 и: $ \left\< \begin < l >\ mathrm&\ \ mathrm&\ end

ight. используя свойство эволюции: ⌘ (⌘ mathrm> \). Из первого уравнения имеем.nn

Формула n-го члена арифметической прогрессии

.

Значит,

Определение равноотстоящей последовательности показывает, что равенство истинно.

Перевод с языка формул на русский: если известна разность между первым членом и последовательностью равенств, то можно найти произвольный член.

Если известны первый член и разность, то можно определить числовую последовательность.n = a1 = a

Формулы арифметической прогрессии

+ d * (n —1) называется выражением для n-го члена экви-дифференциальной последовательности.

В 9 классе мы рассмотрим все уравнения последовательности экви-дифференциала. Давайте посмотрим, как это дается:.nnnn

:.

Свойство 1.

Тип для нахождения суммы n членов эквидифференциальной последовательности:.

Тип.

Чтобы быстрее запомнить формулы, вы можете использовать эту таблицу вместе с основными определениями.

Рассмотрим пример экви-дифференциальной последовательности.nn1), где n

= 0 и d = 2.

Найдите: первые пять периодов прогресса и десятый период прогресса.

    Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

Решите последовательность экви-дифференциалов:.

a10 = a1 = a

Геометрическая прогрессия

+ 2 * (10-1) = 0 + 2 ⋅ 9 = 18.nn

), каждый последующий член может быть найден путем умножения предыдущего члена на то же число q.nn

Общий член эквипропорциональной последовательности bn можно рассчитать по формуле) является равнопропорциональной последовательностью, то для всех натуральных значений n имеет место следующее соотношениеn + 1n * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

nnn1) первый член b

Если знаменатель q известен, то прогрессию можно проверить.

Общий член эквипропорциональной последовательности bn можно рассчитать по формулеnn + 11 = b1 * q n-1, где n — индексный член члена прогрессии, b

— первый член прогрессии, а q — знаменатель.

Примеры 1,2, 6, 18, 54, … -геометрическая эволюция b = 2, q = 3.

Пример 2.3, -3, 3, -3, … -геометрическая эволюция b = 3, q=-1.

Пример 3.7, 7, 7, 7, 7, 7, … -геометрическая эволюция b = 7, q=-1.

Арифметическая прогрессия.

Определения и обозначения.

Примечания. Самый простой способ перейти от десятичных чисел к обычным дробям — это прочитать число, разделить его на дробь и записать. Например, «и 3 мм» — это то же самое, что и \ («+ \ dfrac» \).nn

>, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляется одна и та же константа для данного порядкового номера d. Число d называется разностью эквидифференциальной последовательности.

Разность d числовой прогрессии может быть как положительной, так и отрицательной. В первом случае каждый последующий период прогрессии на одно равное число больше предыдущего, во втором — на одно равное число меньше предыдущего. Например.

2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18.18. -Увеличивающаяся последовательность одинаковых чисел (d = 2),.

Свойства арифметической прогрессии.

17; 14; 11; 8; 5; 2; -1; -4; -7. -Уменьшение изометрической последовательности (d = -3).

\ (a_ = a_n + d; \; a_ = a_n —d; \) ⌘ (a_n = a_k + d \ cdot(n-k). \)

Примеры задач на арифметическую прогрессию.

Таким образом, экви-разностная последовательность полностью определяется двумя параметрами первого члена и разности.

Задача 2. Напишите несколько последовательных членов последовательности тождеств: … ; 11; vat; -13; -25; …. Найдите период прогресса, обозначенный x.

Метод I. Известны предыдущий и следующий члены прогрессии элемента x. Используйте атрибут арифметического свойства ⌘a_n= \ frac + a _>; \ x = \ frac = \ frac = \ frac=-1. \Ј Метод II: Нахождение разности между двумя соседними известными членами прогрессии Ј d = -25- (-13) = -25 + 13 = -12. Согласно определению последовательности равенств, такая же разность существует между элементами x и direct. Поэтому его сосед

\(x = -13 -d = -13-(-12)⌘)⌘(= -13 + 12 = -1 \) или ⌘(x = 11 + d = 11 + (-12)⌘)⌘(= 11-12 = -1.)1 Вопрос 3. Последовательность чисел задана условием a.) является равнопропорциональной последовательностью, то для всех натуральных значений n имеет место следующее соотношениеn + 1nn

Искомую сумму можно найти по формуле \(S_n = \dfrac\cdot n\), т.е. \S_ = \frac\cdot 14 = (a_1+a_)\cdot7.\ Значение первого члена прогрессии известно a 1 —17. Найдите сумму первых 14 членов.) является равнопропорциональной последовательностью, то для всех натуральных значений n имеет место следующее соотношениеn + 1nn

-17. Это указывает на то, что каждый последующий период прогрессии (n + 1-й) на 17 меньше текущего (9-го) периода. Другими словами, разница в прогрессии d = -17. Поэтому 14-й период прогрессии можно найти по формуле ⌘ (a_n = a_1 + d \ cdot(n-1)⌘).

\(a_ = a_1 + d \ cdot(14-1)ǫ)ǫ (= 44 + (-17)ǫ cdot13 = 44 -221 = —177).

Геометрическая прогрессия.

Определения и обозначения.

\ cdot7 \ cdot7 = (a_1 + a _)\ cdot7 = (44 + (-177)\ cdot7 = -931.\ cdot7 = -931.\ cdot7 = -931.\ cdot7 = -931.\ cdot7 = -931.\ cdot7 = -931.nn

>0. Первый член ненулевой, и каждый член второго члена получается умножением предыдущего члена на константу с таким порядковым номером q≠0. Это число является знаменателем геометрической прогрессии.< q < 1, то в однаковое число раз меньше предыдущего. А если знаменатель прогрессии отрицателен, то последовательность окажется знакопеременной. Например:

В знаменателе геометрической прогрессии q может стоять любое рациональное число, отличное от нуля. Если q> 1, то каждый последующий период прогрессии имеет тот же номер, что и предыдущий, если он равен нулю.

2; 4; 8; 8; 16; 16; 32; 64; 128; 256; 512. — Увеличение геометрической эволюции (q = 2). Каждое последующее число в два раза больше предыдущего.

17; 8,5; 4,25; 2,125; 1,0625; 0,53125; 0,265625. -Убывающая геометрическая эволюция (q = 1/2 = 0,5). Каждое последующее число равно половине.

Свойства геометрической прогрессии.

1; -3; 9; -27; 81; -243; 729. -Геометрическая эволюция (q = -3).

Таким образом, экви-пропорциональная последовательность полностью определяется двумя параметрами, первым членом и знаменателем.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Заметим, что в общем случае все последовательности бесконечны. Однако в задачах мы часто встречаем упорядоченные конечные части таких множеств. Это также называется последовательностью и продвижением.< 1 существует сумма В случае бесконечно убывающей последовательности равных пропорций это знаменатель аванса q |все

Условие.nn

Примеры задач на геометрическую прогрессию.

n варьируется от 1 до бесконечности.nn

> \ b_3 = \ frac, ⌘; b_6=196. найдите знаменатель ⌘ прогрессии.

Используя соотношение ⌘ (b_n = b_k \ cdot q ^, ⌘), подставьте известные величины и решите простое уравнение относительно неизвестных.

\ (b_6 = b_3 \ cdot q ^ \\\\\ 196 = \ dfrac \ cdot q ^ 3 \ cdot q ^ 3 = 196 \ cdot \ dfrac = \ dfrac = \ 49 \ cdot7 = 7 ^ 3. \ cdot q ^ 3 = 7 ^ 3; \; q = 7. \)nn

>, \(b_1 + b_2 = 4 \) и \(S = \ dfrac \).

Каждый член прогрессии может быть найден по формуле для его общего члена. То есть используются первый член и знаменатель. Таким образом, запрос «найти прогресс» эквивалентен запросу «найти первый член прогресса и его знаменатель».

Из первого члена, используя выражение \(b_2 = b_1 \ cdot q \), получаем \ b_1 + b_2 = b_1 + b_1 \ cdot q = 4 \ b_1 \ cdot (1 + q) = 4 \ b_1 =\frac \᥉Найдите сумму всех выполняемых членов. Это ἀ (ἀ dfrac, ἀ) по формуле ἀ (S = ἀ dfrac ἀ). Замените это соотношение на \(b_1 \) и составьте уравнение для определения неизвестного знаменателя прогрессии.

Решите уравнение ⌘frac= \ frac- \ cdot3 = 16 \ cdot(1-q ^ 2)-ዄ 12-16 = -16q ^ 2- \ q ^ 2 = \ frac = \ frac- \ q = \ pm \ frac.ዄ Следовательно, две последовательности удовлетворяют следующим условиям.<3\cdot 2^>\)

\ dfrac = \ dfrac- \ dfrac- \ dfrac- \ dfrac- \ cdot)

Ответы и решения на эти вопросы временно скрыты. Для их просмотра используйте соответствующие кнопки. Но сначала попробуйте решить проблему самостоятельно.

Задача 10. В каждый день рождения родители Саши кладут в его копилку столько же монет, сколько ему лет. В настоящее время в копилке 21 монета. Сколько тебе лет?

На каждый день рождения Саша копит еще один год, в результате чего в копилку попадает еще одна монетка. Таким образом, мы имеем дело с возрастающей последовательностью одинаковых чисел. Разница составляет d = 1. Первый день рождения Саши, очевидно, праздновался, когда ей исполнился год, поэтому первый член в прогрессии \(a_1 = 1 \).1Поскольку копилка содержит все «накопленные» монеты, их количество является суммой всех годовых вложений, то есть числовой прогрессией. Замените сумму уравнения всеми известными данными в формуле и решите уравнение относительно неизвестных параметров. Используйте уравнение суммирования в следующем виде \(S_n = \ dfrac \ cdot n.}) \ 21 = \ frac \ cdot n \ 21 = \ frac \ 42 = 2n + n ^ 2-n \ n ^ 2 + n —42 = 0 Решение этого квадратного уравнения дает корни n2 = -7 и n

= 6. Саша, очевидно, не является отрицательным числом лет, поэтому рассмотрим корень n = 6.

Чеки. При выполнении таких важных задач, как тестирование, рекомендуется по возможности проводить проверки. Если окажется, что Саша недостаточно большой, вы можете «вручную» добавить все монеты в копилку в течение шести лет. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. их общая сумма фактически равна 21. Это означает, что проблема решена правильно.

Вопрос 11.Вася и Петя готовились к экзамену. Они решили все задачи в сборнике, и каждый решил все задачи в сборнике ровно за семь дней. В первый день Вася решил пять задач, а затем каждый день решал на одну задачу больше, чем накануне. Если Васе, чтобы дотянуться до Васи, нужно каждый день решать на две задачи больше, то сколько задач решил Петя в первый день?

Оба мальчика каждый день решали задачи, увеличивая свои числа на одно и то же число. Это экви-дифференциальная последовательность. Граф Васина хорошо известен: \(a_1 = 5 \) и \(d = 1 \). Зная, что Вася решил все задачи за семь дней, мы можем найти общее количество задач в сборнике S_7 = \ frac \ cdot7 \ a_7 = a_1 + d(7-1) = 5 + 1 \ cdot6 = 11 \ S_7 = \ frac \ cdot7 = 56 \ поэтому В сборнике 56 задач, которые Вася тоже решил за семь дней. Опять же, мы используем уравнение для суммы последовательности экви-дифференциалов, но создаем уравнение для \(a_1 \). Разность хода известна d=2.\ S_7 = \ frac \ cdot7 \ a_7 = a_1 + d(7-1) = a_1 + 2 \ cdot6 = a_1 + 12 \ S_7 = \ frac \ cdot7 = (a_1 + 6 ) \ cdot7{ решить уравнение Lo_7a_1+42 = 56 \ cdot7 = 14; \ —a_1 = 2. \

Часть условия задачи «каждую следующую. на 5 меньше» подсказывает, что имеем дело с арифметической прогрессией: \(a_1=400, d = -5\). Для определения расстояния, которое пробежал спорсмен за тренировку в целом, нужно сложить участки, пройденные в каждую из 30 минут. Используем формулу суммы арифметической прогрессии. \S_ = \frac\cdot30 \\ a_ = a_1 + d(30-1) = 400 — 5\cdot29 = 255\\ S_ = \frac\cdot30 = (400+255)\cdot15 = 9825 (м) = 9,825 (км) \ 9,825 километра составляют примерно 10 км.

Оцените статью
Uhistory.ru