Положение центра тяжести однородного тела зависит от формы опухоли, занимающей это тело, и называется центром тяжести этой опухоли.
§ 8.3. Центр тяжести
Импульс силы зависит от ее плеч, а значит, и от точки приложения силы. Положение точки приложения силы очевидно при воздействии силы на кабель, пружину или другое тело. Но что можно сказать о точке приложения силы тяжести?
Особенность гравитации в том, что она воздействует на тело не в какой-то один момент времени, а на весь объем тела. Строго говоря, они не параллельны, так как сила тяжести на отдельные элементы тела направлена к центру Земли. Однако размеры всех структур на Земле намного меньше их радиуса. Поэтому почти все эти силы можно рассматривать как параллельные.
Равновесной силой всех параллельных гравитационных сил, действующих на отдельные элементы тела (при любом данном положении тела в пространстве), является точка, называемая центром тяжести.
Определение центра тяжести тела простой формы
Сначала найдем положение центра тяжести в простейшем случае, когда тело состоит из двух шаров разной массы, соединенных со стержнем. Кроме того, длина стержня значительно превышает длину луча сферы. Тогда шары можно рассматривать как материальные точки (рис. 8.4, A).
Поэтому в материальных точках A и B, связанных с оголенным стержнем, силы тяжести1 и2в одно и то же время. Геометрическая сумма этих сил является результирующей гравитационной силой.
А также силы, направленные к центру Земли1 и2а его мера упругости равна сумме измерений добавленных сил.
Положение центра тяжести, т. е. точки приложения результирующей силы, можно определить, используя тот простой факт, что тело, закрепленное на оси, проходящей через центр тяжести С, должно находиться в равновесии. Ведь относительно этой оси моменты сил тяжести т и силы реакции опоры
С другой стороны, согласно равновесному состоянию (8.2.5), можно записать1d1 -f2d2 = 0, где d1 = ac и d2 = CBS — это оружие власти1 и2 Поэтому.
Равенство (8.3.2) определяет положение центра тяжести тела. Точки реализации параллельно генерируемых гравитационных сил делят расстояние между точками приложения этих сил на участки, обратно пропорциональные характеристикам сил.
Нахождение центра веса тела является важной технической проблемой, поскольку положение центра веса определяет устойчивость мостов, плотин, зданий, телебашен, автомобилей и ракет при запуске. Поэтому необходимо ознакомиться с тем, как располагаются различные формы весовых центров.
Нахождение центра тяжести тел
Технологии и повседневная жизнь представляют тело в совершенно разных формах. Часто они состоят из турника и диска (осевого колеса, спортивного турника и т.д.). Многие плоские формы состоят из прямоугольных и треугольных пластин. При определении положения центра тяжести таких тел легко определить положение центра тяжести отдельных частей простой формы. Для простых форм положение центра тяжести можно быстро определить с учетом симметрии.
Например, центр тяжести однородного стержня находится четко в центре стержня (рис. 8.5). Все однородные формы с центром симметрии имеют центр тяжести, совпадающий с этим центром. Круги имеют прямоугольники, включая их геометрические центры и пересечения диагоналей. Однако центр тяжести может находиться и вне тела (например, в кольце или полой сфере).
Определив положение центров тяжести компонентов тела в сложной геометрии, можно найти, где находится центр тяжести всего тела. Это делается путем замены тела системой материальных точек. Каждый из них расположен в центре тяжести соответствующей части тела и массы этой части (рис. 8.6).
ПРИМЕЧАНИЯ. Силовое поле — это область пространства в каждой точке, где к материальной частице приложена сила, зависящая от положения этой частицы. Например, поле, создаваемое магнитом, действует на движение заряженной частицы.
2. Способы нахождения центра тяжести
Метод симметрии. Этот метод основан на том, что Если однородное тело имеет элемент симметрии (зеркало, вал или уровень центральной симметрии), то его центр тяжести должен находиться на этом элементе.
Действительно, предположим, что тело имеет уровень симметрии P. Тогда две его «половинки» имеют эквивалентные по модулю и совместному действию притяжения ɛ (ɛ vec g_ \) и ɛ (ɛ vec g_ \), с точками c1 и в2 (полуцентры тяжести) симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 8.4).
Рисунок 8.4. позиционная симметрия центра тяжести зеркала
Гравитация ĩ (ĩ vec g \), практикуемая во всем теле, является результатом линейной ĩ (ĩ vec g_ \) и ĩ (ĩ vec g_ \) и должна применяться вдоль линии, проходящей через центральную часть.1 c2 принадлежит уровню P. Поэтому центр тяжести тела на линии действия ⌘ (⌘ vec g_ \) находится на том же уровне.
Путем аналогичных рассуждений можно доказать, например, что центры тяжести образующих измерительных тел находятся на одной оси.
Пример. Пересечение диагоналей прямоугольника является его центром симметрии. Поэтому центр тяжести однородного («компактного») прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей (рис. 8.5).
Рисунок 8.5.Центр тяжести параллелограмма.
То же самое относится к прямоугольнику, составленному из двух пар брусков одинаковой длины и одинаковой плотности.
Если однородное тело имеет много уровней или осей симметрии, его центр тяжести находится на их пересечении. Это связано с тем, что он должен принадлежать каждому из этих уровней (осей).
Пример. Корабль с загруженными трюмами можно рассматривать как тело, разделенное на части. Сам корпус судна выступает в качестве одного из них, а некоторые позиции груза — в качестве других. Во время обрезки координаты центра изменяются — согласно (8.3a), положение центра тяжести всего грузового контейнера также изменяется. С его помощью можно добиться максимальной устойчивости лодки и избежать ее опрокидывания при сильных толчках. Напротив, неспособность зафиксировать вес может сделать центр тяжести нежелательным и опрокинуть лодку.
Для упрощения расчетов исследуемое тело делится на небольшое количество частей максимально простой формы.
Пример. Из квадрата клмн размером 60 см вырежьте квадрат MPQR со стороной 30 см (рис. 8.6 A). Найдите полученный центр тяжести.
Разделите исходное тело на две части: прямоугольник kspn и квадрат slrq. Разрежьте исходное тело на две части: с1 и в2 — их центры тяжести. Введите систему координат в начало точки k, при этом ось x направьте вдоль стороны kn, а ось y — вдоль kl (рис. 8.6 b).
Исходя из вышеизложенного, c1 пересечение диагоналей KSPN. В указанной системе координат x заканчивается на.1 = 30 см и размещение y1 = 15 см. Аналогично, c2 (диагональное пересечение SLRQ) находится на расстоянии sq /2 = 15 см от оси y и ks + sl /2 = 45 см от оси x, x2 = 15 см, y2 = 45 см. площадь s1 и с2KSPN и SLPQ равны соответственно 60-30 = 1800 см2 и 30-30 = 900 см2. Используя формулу (8.3a), найдите координаты точки C — центра тяжести большого квадрата с разрезом:
3. Центры тяжести некоторых однородных тел
Центр тяжести стержня находится в его середине. Это следует из того, что стержень симметричен относительно этой точки (рис. 8.10).
Рис. 8.10. Центр тяжести однородного стержня
Как было сказано ранее, центр тяжести параллелограмма находится в точке пересечения его диагоналей. Аналогично, центр тяжести параллелепипеда (однородного или «собранного» из плоских поверхностей равной поверхностной плотности или ребер равной единичной плотности) также находится на пересечении его диагоналей (рис. 8.11).
Рис. 8.11. Центр тяжести однородного параллелепипеда
Центр тяжести площади треугольника находится на пересечении его медиан (рис. 8.12).
Рис. 8.12. Центр тяжести однородного треугольника
それを証明しましょう。 Разрежьте треугольник на полоски, параллельные одной стороне. Сделайте полоски настолько тонкими, чтобы каждую из них можно было приблизить к сегменту. В этом случае сила тяжести, действующая на треугольник в целом, будет эквивалентна системе сил, действующих на середины полос (рис. 8.13).
Эти средние точки заполняют медиану треугольника, проведенную по выбранной стороне. Следовательно, центр тяжести (точка приложения равнодействующей гравитационных сил, действующих на все полосы) находится на этой медиане.
Разрезав исходный треугольник на тонкие полоски, параллельные другой стороне, мы можем показать, что его центр тяжести принадлежит другой медиане. Но все диаметры треугольника пересекаются в одной точке. Таким образом, это точное положение центра тяжести, которое мы ищем.
Далее найдите положение центра тяжести равномерной дуги окружности с центральным углом 2 a и радиусом R. Давайте введем систему координат, как показано на рисунке 8.14.
Рис. 8.14. Определение центра тяжести равномерной дуги окружности
Используя метод симметрии, можно легко убедиться, что искомая точка C расположена на Ox, т.е. yc = 0. Остается найти координату xc 。 Для этого разделите дугу на небольшие отрезки и соедините их концы с вершиной угла. Затем он будет разделен на небольшие углы. Поскольку длины отрезков, разделяющих дугу, малы, каждый из них можно рассматривать как отрезок прямой длиной dl = R dβ, где dβ — радиальная мера соответствующего угла.
Пусть β — угол между осью Ox и отрезком, соединяющим точку O с центром сегмента раздела (см. рис. 8.14). Тогда отклонение x центра тяжести этой дуги приблизительно равно R cos β. Подставим это значение x в формулу (8.3 b). Вместо объема V используем длину дуги R -2 α, вместо множителя dV под интегралом используем найденное ранее значение dl, а угол β лежит в пределах от — α до α :
Таким образом, центр тяжести однородной дуги расположен на ее оси симметрии на расстоянии ( R sin α )/α от ее центра.
4. Пример расчета координат центра тяжести
Полусфера с усеченной вершиной помещена на коробчатое основание в форме прямоугольного параллелепипеда, состоящего из плоских поверхностей. Срезанная часть заменяется плоской «крышкой» в форме круга. Определите положение центра тяжести полученного тела, предполагая, что все его элементы однородны и имеют одинаковую поверхностную плотность. Размеры указаны в см (рис. 8.18).
Исследуемый объект состоит из четырех других объектов более простой формы — параллелепипеда, круга и поверхности полусферы, от которой «отрезается» отрезок. Радиус полусферы равен R = 30 см, а высота полученного отрезка 20 см, поэтому высота отрезанного отрезка равна 10 см.
Введем систему координат, начиная с центра полусферы O, как показано на рисунке 8.18. Ось Ox расположена вдоль короткого горизонтального ребра параллелограмма, ось Oy — вдоль длинного ребра, а ось Oz — вертикально вверх. Поскольку объект симметричен относительно плоскости Oyz, дистальное положение центра тяжести C равно нулю. Необходимо найти растяжение и ширину этой точки. Используя методы деления и отрицательного объема, эти координаты можно найти по следующему уравнению.
| $y_=\fracy_+S_y_+S_y_-S_y_>+S_+S_-S_>,\; z_=\fracz_+S_z_+S_z_-S_z_>+S_+S_-S_>.$ | (8.5) |
Указатель «1» обозначает параллелограмм, «2» — полусферу, «3» — круг и «4» — усеченный сегмент (его площадь обозначается символом «-«). Поскольку структура состоит из поверхностных элементов, вышеуказанные типы относятся к площадям, а не к объемам.
Второе по величине ребро параллельного шестигранника равно диаметру полусферы, поэтому его поверхность равна S.1 = 2- (100-60 + 100-10 + 60-10) = 15200 см2; центр тяжести на этой диаграмме находится на расстоянии 100/2 = 50 см от левой стороны и 20/2 = 10 см от вершины. Начало координат O находится на 30 см выше левого края параллелограмма, поэтому координаты центра тяжести на рис. 1 равны y1 = 20 см, z1 = -5 см.
На рис. 2 показано сечение сферы высотой H = R. Центр находится в точке O, ось симметрии — Oz. Площадь s2 = 4π — 302/2 = 1800π см2 и координаты его центра тяжести y2 = 0 см, z2 = 30-30/2= 15 см.
Очевидно, что центр тяжести окружности находится в точке (0; 0; 20). Радиус этой окружности равен \(Lo_SQRT = \ sqrt \) см, поэтому площадь S равна.3 = 500πcm2.
Площадь купола разрезанной сферы равна S4 = 2π — 30 — 10 = 600π см2. Линия центра тяжести y4 = 0 см, ширина z4 = 30-10 / 2 = 25 см.
（ Подставляя параметры, найденные в (8.5), получаемc ≈ 14,80 см, zc ≈ -0,34 см; следовательно, C (0; 14,80; -0,34). Как и ожидалось, центр тяжести с самого начала сместился вправо (поскольку рис. 1 асимметричен относительно Oz) и вниз (площадь, а значит и вес параллелепипеда, приходится на сферическое сечение).
Построение состояния задачи показывает, что треугольник является прямоугольным и что центр тяжести лежит на горизонтальной линии, проходящей через центр диска. Предполагается, что ось x является осью x. Чтобы решить эту проблему, сложную форму необходимо разделить на несколько частей. В каждой части можно найти нужную точку.
Понятие центра тяжести
Рассмотрим плоский однородный диск. Подвешенные на нити, они начинают вращаться под действием силы тяжести, за исключением одного. Только если нить соединена с центром диска, вращения не происходит и устанавливается равновесие.
Точка, в которой суммарный гравитационный момент всех частей тела равен нулю, называется центром тяжести. Когда объект рассматривается в однородном гравитационном поле, центр тяжести твердого тела совпадает с центром тяжести. В общем случае это не так.
Рисунок 1: Центр тяжести в неоднородном гравитационном поле.
Центр тяжести используется только по отношению к твердым телам в гравитационном поле. В противном случае его использование бессмысленно.
Рассмотрим два тела, прикрепленных к голому стержню. Система висит на нити и находится в равновесии. Следующей точкой, в которой закрепляется нить, является центр тяжести. Равенство моментов силы дает отношения:.
Рисунок 2. Два центра тела закреплены стержнями.
По полученным результатам можно определить положение центров некоторых нормальных однородных тел. Например, центр тяжести стержня находится в его центре, а центр тяжести сферы описывается центром тяжести параллельности ее поверхности и пересечением ее диагоналей.
Способы определения центра тяжести
Аналитический метод часто используется для однородных тел простой геометрии. Человек вычисляет центр тяжести трехмерной фигуры следующим образом.
$ r_c = \ frac \ cdot \ iiint \ limits_v r dv $, где v — объем тела.
Для плоских форм:.
$ r_c = \ frac \ cdot \ iiint \ limits_s r ds $, где s — поверхность тела.
Для равномерных линий:.
$ r_c = \ frac \ cdot \ iiint \ limits_l r dl $, где l — длина линии.
Общий случай, когда тело может иметь неоднородную и сложную форму, очень сложен. Используются следующие методы.
Первый способ осуществляется путем подвешивания к телу нитей из разных частей (вдоль нитей проводятся линии с пересекающимися центрами тяжести) или гирь (например, через весы разрешается автомобиль). (Существуют задачи, аналогичные тем, которые решаются для двух тел, закрепленных друг с другом стержнями).
Второй метод заключается в разделении всего тела на участки, где можно легко найти центр тяжести, используя следующие типы
Рисунок 3.Метод разделения.
Наконец, третий метод основан на принципе, что центр тяжести симметричного тела находится на уровне вала или симметрии. В принципе, этот метод используется для упрощения предыдущих методов.
Центр тяжести человека находится вблизи пятого поясничного позвонка. В этом случае вертикальное положение считается неустойчивым. Стремление тела вперед или назад создает гравитационный момент и вызывает нарушения равновесия. Поэтому нормальное мышечное напряжение необходимо для того, чтобы стоять прямо на одном месте.
